Mavzu: Laplas tenglamasining fundamental yechimiga doir

EKSTREMUM PRINSPI

Chekli D soxada o’zgarmas sondan farqli bo’lgan u(x) garmonik funksiya D soxaning ichki nuqtalarida maksimum va minimumga erisha olmaydi.

Isbot. Faraz qilaylik, biror nuqtada u(x) funksiya maksimumga erishsin, ya’ni . D soxada yotuvchi sharni olamiz. Bu sharning xar bir nuqtasi u(x)=M bo’ladi. Xaqiqatdan xam, agar y, , nuqtada u(y) (u(y)>M tengsizlik bo’lishi mumkin emas) tengsizlik o’rinli bo’lsa u(x), funksiya uzluksiz bo’lgani uchun bu tengsizlik u nuqtaning biror atrofida xam o’rinli bo’ladi. U xolda (17) formulani shartga nisbatan qo’llash natijasida M bo’lgan manosiz tengsizlikka ega bo’lamiz.
Demak, barcha sharda u(x)=M. Endi x-D soxaning ixtiyoriy nuqtasi bo’lib, l esa ni bilan tutashtiruvchi va D da yotadigan uzluksiz egri chiziq bo’lsin. D soxaning chegarasi S bilan l egri chiziq orasidagi masofadan kichik bo’lgan sonni olamiz. sharning y markazini nuqtadan x nuqtaga qarab l chiziq bo’yicha siljitib boramiz. Yuqorida isbotlangan asosan y ixtiyoriy xolatda bo’lganda xam bu sharning ichida u=M va u(x)=M bo’ladi. Demak barcha Dda u(x)=M. Xosil bo’lgan qarama-qarshilik teoremaning birinchi qismi to’g’ri ekanligini ko’rsatadi. Xuddi shunga o’xshash ikkinchi qismi, ya’ni minimum xol isbotlanadi.
1-natija. Agar u(x) funksiya D soxada garmonik bo’lib, da uzluksiz bo’lsa, u xolda u(x) funksiya o’zining eng katta va eng kichik qiymatlarni soxani chegarasida qabul qiladi, ya’ni , bu yerda m va M lar u(x) funksiyaning D chegarasidagi eng kichik va eng kata qiymatlari.
Bu natijaning to’g’riligi yuqorida isbotlangan ekstremum prinspi va matematik analizdan ma’lum bo’lgan. Veyershtras teoremasidan kelib chiqadi.
2-natija. Agar u(x) funksiya chekli D soxada garmonik bo’lib, Dning chegarasi S da no’lga teng bo’lsa, barcha D da aynan no’lga teng bo’ladi.
Xaqiqatdan xam, m=M=0 dan ixtiyoriy uchun u(x)=0 bo’ladi.
3-natija. Agar va funksiyalar D soxada garmonik, da uzluksiz bo’lib, S da bir xil qiymatlarni qabul qilsa, barcha da ular aynan bir-biriga teng bo’ladi.
Xaqiqatdan xam, desak, bo’ladi. 2-natijaga asosan barcha D da yoki bo’ladi.
Izoh. Ekstremum prinspining isbotida asosan garmonik funksiyaning uzluksizligidan va o’rta qiymat xaqidagi teoremadan foydalanildi. Shu sababli ekstremum prinspini boshqacharoq formada keltirish mumkin.
Agar o’zgarmas sondan farqli bo’lgan u(x) funksiya D soxada uzluksiz b’lib, bu soxaning xar bir nuqtasi uchun R ning barcha kichik qiymatlarida
yoki
Tenglik o’rinli bo’lsa, u(x) funksiya D soxaning ichki nuqtalarida maksimum va minimumga ega bo’lmaydi.

XULOSA

FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR

1. 
   
   M.Salohiddinov. Matematik fizika tenglamalari. Toshkent:. “O’zbekiston” 2002-yil.
   
2. 
   

http://fayllar.org