Mavzu: Laplas tenglamasining fundamental yechimiga doir

GRIN FORMULALARI

bo’laklari silliq, sirt bilan chegaralangan fazodagi soha bo’lib, va funksiyalar sinfga tegishli bo’lsin.

soha bo’yicha quyidagi
,

ayniyatlarni integrallab va Gauss-Ostragradskiy formulasini qo’llab,

, (4)
(5)
formulalarni hosil qilamiz, bunda ga o’tkazilgan tashqi normal (4) ni Grinning birinchi, (5) ni esa ikkinchi formulasi deb yuritiladi. Agar va funksiyalar da garmonik bo’lsa, u holda (4) va (5) formulalar quyidagi ko’rinishga ega bo’ladi:
, (6)
. (7)
(6) va (7) formulalarga asosan garmonik funksiyalarning qator sodda xossalari kelib chiqadi.
1) Agar sohada garmonik bo’lgan funksiya da o’zining birinchi tartibli hosilalari bilan birga uzluksiz bo’lib, sohaning chegarasi da nolga teng bo’lsa, u holda barcha lar uchun bo’ladi (garmonik funksiyaning yagonalik xossasi).
Agar (6) tenglikda desak, undan bu xossa darrov kelib chiqadi. Haqiqatan, da bo’lgani uchun (6) dan
(8)
yoki

tenglik kelib chiqadi.

Demak, , ya’ni barcha lar uchun  . Bundan , bo’lgani sababli, yopiq sohada ning uzliksizligidan barcha lar uchun .
2) Agar sohada garmonik, da birinchi tartibli hosilalari bilan uzluksiz bo’lgan funksiyaning normal hosilasi ning chegarasi da nol ga teng bo’lsa, barcha nuqtalar uchun  bo’ladi.
Bu xossa barcha lar uchun  bo’lgani sababli, (8) tenglikdan darhol kelib chiqadi.
3) sohada garmonik, dao’zining birinchi tartibli hosilalari bilan uzluksiz bo’lgan funksiyaning normal hosilasidan bo’yicha olingan integral nolgateng.
Haqiqatan, (6) formulada  , desak,

hosil bo’ladi.

SINF FUNKSIYALARINING VA GARMONIK FUNKSIYALARNING INTEGRAL IFODASI

2- bandda kiritilgan sohaning o’zgaruvchi nuqtasini orqali belgilab olamiz. funksiya sinfga tegishli bo’lsin. nuqtaning ixtiyoriy nuqtasini olamiz va bu nuqtani markaz qilib radiusli shar chizamiz, sharning sirti bo’lsin. radiusni shunday kichik qilib olamizki, shar sohada to’la yotsin. ni orqali belgilab olamiz. Ravshanki sohada va funksiyalar sinfga tegishli. sohada bu funksiyalarga (5) Grin formulasini qo’llaymiz:

bu yerda differensial belgisidagi indeks integrallash bo’yicha bajarilayotganini bildiradi.

Ma’lumki, . Avval bo’lsin. sferada normal sohaga tashqi bo’lganligi sababli radiusga qarama-qarshi yo’nalgan. Shuning uchun

Birlik sferani orqali belgilasak, ma’lumki, almashtirishni bajarsak, bo’lganda, bo’ladi. Shu sababli avvalgi formulani quyidagi ko’rinishda yozib olamiz:

(9)
Ravshanki,

(9) formulaning o’ng tomonidagi birinchi integral ga bog’liq emas.

Bo’lganligi uchun const,

Bundan darxol

birlik sferaning yuzi.

Demak, (9)tenglikdan ushbu

(10)
Formula hosilbo’ladi. Eslatib o’tamiz, birlik sfera sirtining yuzi bo’lganda (10) formula o’z ma’nosini yo’qotadi. Bu holda ekanligini e’tiborga olib , avvalgi hisoblashlarni qaytarsak,

(11)
Formulaga ega bo’lamiz.

Agar nuqta sohadan tashqari

Formulalar hosil bo’ladi.

Endi funksiya (10) va (11) formulalarni chiqarishdagi shartdan tashqari sohada garmonik ham bo’lsin. Bu holda (10),(11) formulalarda bo’ladi, natijada garmonik funksiyalarning quyidagi integral ifodasiga ega bo’lamiz:
(12)
(13)