Mavzu: matematik fizika tenglamalarini sonli yechishda variatsion usullar

1.2.Ikkinchi tartibli chiziqli chegaraviy masalani variatsion
masalaga keltirish
Bizga ushbu oddiy differinsial tenglama
(1)
va
(2)
chiziqli chegaraviy shartlar berilgan bo’lsin, bunda [a,b] oraliqda P(x), Q(x), F(x) funksiyalar uzluksiz hamda .Bu chegaraviy masalani variatsion masalaga keltirish uchun, avvalo, uni o’z-o’ziga qo’shma bo’lgan ko’rinishga keltirish kerak. Buning uchun uning hamma hadlarini

musbat funksiyaga ko’paytiramiz:
(3)
Ravshanki,

shuning uchun ham (3) tenglamani quyidagi ko’rinishda yozish mumkin:
(4)
bunda

Ushbu
(5)
Chiziqli operatorni kiritib , quyidagiga ega bo’lamiz:
(6)
Bunda funksiyalar [a,b] oraliqda uzluksiz .
Avval (2) chegaraviy shartlar bir jinsli bo’lgan holni ko’ramiz :
(7)
Shu bilan birga umumiylikka ziyon yetkazmasdan deb qarashimiz mumkin.
Endi u(x) funksiyalarning [𝑎,b] oraliqda ikkinchi tartibli hosilasigacha uzluksiz (u(x )ϵC²[𝑎,b]) va (7 ) bir jinsli shartlarni qanoatlantiradigan K = {u(x)} to’plamida A operatorning o’z-o’ziga qo’shmaligini (simmetrikligini) ko’rsatamiz. Faraz qilaylik, uϵK va ϑϵ K ixtiyoriy funksiyalar bo’lsin. (5) ga ko’ra
(8)
(7) bir jinsli shartdan foydalanib ,
(9)
Ekanligini ko’rsatamiz .Haqiqatan ham,
(10)
u(x) va ϑ(x) funksiyalar


Bir jinsli chegaraviy shartlarni qanoatlantiradi. Agar α₁≠0 bo’lsa u holda
(11)
bo’lib , agar α₀≠0 bo’lsa u holda
(12)
Tenglik o’rinli bo’ladi. Masalan , α₁≠0 bo’lsin , u holda

Tenglik bajariladi.Xuddi shunga o’xshash α≠0 bo’lganda hamda β₀≠0 yoki β₁≠0 bo’lganda

ekanligini ko’rsatish mumkin. Demak, (10) ga ko’ra (9) tenglik o’rinli ekan Shunday qilib,
(13)
Ma’lumki, p(x) > 0, shuning uchun ham (11) tenglikdan A operator musbat bo’lishi uchun quyidagi shartlar bajarilishi kerak:
q(x)≥0, a≤x≤b (14)
va
u(a) u’(b)≥0, u(b)u’(b)≤0 (15)
farazimizga ko’ra α₁≥0, β₁≥0, shuning uchun ham (7) chegaraviy shartga ko’ra (15) shartlar
α₀≤0, β₀≥0 (16)
tengsizliklarga ekvivalentdir.
Shunday qilib, (6), (7) chegaraviy masala (14) va (15) shartlar bajarilganda 2 -teoremaga ko’ra funksiyalarning K sinfida quyidagi
(17)
funksionalning minimumini topish masalasiga teng kuchlidir.
(13) formulaga ko’ra

Agar α₁>0 ,β₁>0 bo’lsa , u holda (11) munosabatga ko’ra
(18)
Qolgan hollarda ham I(u) uchun shunga o’xshash ifodalarni hosil qilish mumkin. Bu funksionallar ko’pincha yuklatilgan va ba’zan aralash ham deyiladi.Endi (6) masalani (2) bir jinsli bo’lmagan chegaraviy shartlar bajarilganda ko’ramiz. Shu bilan birga (12) va (14) shartlar bajarilgan deb faraz qilamiz. (2) shartlarni qanoatlantiradigan funksiyalar sinfida A operator, umuman aytganda, simmetrik va
musbat emas.
Faraz qilaylik, [a,b] funksiya (2 ) shartni qanoatlantirsin, u holda
(19)
Funksiya (7) bir jinsli shartni qanoatlantiradi va

ya’ni
(20)
operator tenglamaning yechimi bo’ladi. Demak, uϵK va A operator funksiyalarning K sinfida simmetrik va musbat. Shuning uchun ham ϑ(x) funksiya (6) va (20) chegaraviy masalaning yechimi bo’lib,

Funksionalning minimumini ta’minlaydi. Bundan (13) formulaga ko’ra
(22)
Buni bo’laklab integrallab va soddalashtirib , quyidgiga ega bo’lamiz :
(23)
Faraz qilaylik α₁≥0 va β₁≥0 bo’lsin , u holda (2) chegaraviy shartlardan quyidagilar kelib chiqadi:


U holda

Katta qavs ichidagi ifoda muayyan ifoda bo’lib, u(x) funksiyaga
bog’liq emas, shuning uchun ham I₁(u) funksional o’rniga quyidagi
funksionalni qarash mumkin:

Shunday qilib, (6) va (2) bir jinsli bo’lmagan chegaraviy shartlar bilan berilgan chegaraviy masala (14) va (16) shartlar bajarilganda (24) funksional uchun variatsion masala bilan teng kuchlidir.