Gyodelning to`liqsizlik haqidagi teoremasi. Gyodelning to‘liqsizlik haqidagi teoremasi deganda Gyodelning quyida ifodalangan ikkita teoremasiga qo‘yilgan umumiy nom tushuniladi.
Gyodelning birinchi teoremasi (to`liqsizlik haqida). Minimum arifmetikani qamrab olgan har qanday qarama-qarshilikka ega bo'lmagan formal sistemada va, demak, natural sonlar nazariyasida formal yechilmovchi fikr topiladi, ya 'ni shunday yopiq A formula topiladiki, na A na ni sistemada keltirib chiqarish mumkin emas.
Gyodelning birinchi teoremasi quyidagini bildiradi: arifmetikada qanday aksiomalar tizimi tanlashimizdan qat’iy nazar, formal nazariya tilida ifodalangan natural sonlar haqida shunday mulohaza topiladiki, uni berilgan nazariyada na isbot qilib bo`ladi va na rad etib bo`ladi.
Gyodelning ikkinchi teoremasi (to`liqsizlik haqida). Tabiiy qo'shimcha shartlar bajarilganda A o'rnida ko'rilayotgan sistemaning qarama-qarshilikka ega emasligi haqidagi tasdiqni olish mumkin.
2- ta’rif .Qaralayotgan A alfavit harflarining chekli ketma-ketligi A alfavitdagi so’z deb ataladi. Harflarning bo’sh ketma-ketligi bo’sh so’z deb ataladi va bilan belgilanadi.
3- ta’rif. Agar A alfavitdagi va so'zlar uchun n=k va , bo’lsa, bu so’zlar teng deb ataladi va ko'rinishda yoziladi. Bu yerda n son so’zning uzunligi deb ataladi.
4-ta’rif. Agar biror T nazariyaning alfaviti A(T) bo'lsa, u holda A(T) alfavitdagi E(T)so'zlar to'plami T nazariyaning ifodalar to’plami deb ataladi.
