Mavzu: Natural sonning berilgan asosdagi sistematik ifodasi haqidagi teorema reja kirish I bob. Sanoq sisemalari

Peano Aksiomalari

Shunday {\displaystyle S}  funktsiyasini kiritamizki, u har bir {\displaystyle x}  soniga oʻzidan keningi sonni qoʻysin{\displaystyle 1\in \mathbb {N} }({\displaystyle 1}  soni natural sondir);

1. 
   Agar {\displaystyle x\in \mathbb {N} } , unda {\displaystyle S(x)\in \mathbb {N} }  ( Natural sondan keyin keluvchi son — natural sondir);
   
2. 
   {\displaystyle \nexists x\in \mathbb {N} \ (S(x)=1)} (1 hech qanday natural sondan keyin kelmaydi);
   
3. 
   Agar {\displaystyle S(b)=a}  va {\displaystyle S(c)=a} , unda {\displaystyle b=c}
   
4. 
   Induktsiya aksiomasi. {\displaystyle P(n)}  — {\displaystyle n}  natural sonidan bogʻliq boʻlgan qandaydir biroʻrinli predikat boʻlsin. Unda: agar {\displaystyle P(1)}  va {\displaystyle \forall n\;(P(n)\Rightarrow P(S(n)))} , unda {\displaystyle \forall n\;P(n)}
   

(Agar biron bir ayniyat {\displaystyle P}  uchun toʻ {\displaystyle n=1}  (induktsiya bazasi) va ihtiyoriy {\displaystyle n}  tahmini uchun, toʻgʻri boʻlsa {\displaystyle P(n)} , hamda {\displaystyle P(n+1)}  uchun ham toʻgʻri boʻlsa (induktsion tahmin), unda {\displaystyle P(n)}  uhtiyoriy natural sonlar uchun toʻgʻri boʻladi {\displaystyle n} ).

Asosiy xossalar

1. 
   Yigʻindining komutativligi. {\displaystyle \,\!a+b=b+a}
   
2. 
   Koʻpaytirishining komutativligi. {\displaystyle \,\!ab=ba}Yigʻindining assotsiativligi. {\displaystyle \,\!(a+b)+c=a+(b+c)}
   
3. 
   Koʻpaytirishining assotsiativligi. {\displaystyle \,\!(ab)c=a(bc)}
   
4. 
   Koʻpaytirishining yigʻindiga nisbatan distributivligi. {\displaystyle \,\!{\begin{cases}a(b+c)=ab+ac\\(b+c)a=ba+ca\end{cases}}}