Mavzu: Natural sonning berilgan asosdagi sistematik ifodasi haqidagi teorema reja kirish I bob. Sanoq sisemalari

1.2-§. Natural sonning sistematik ifodasi va pozitsion sanoq sistemasi

O’rta maktab matematikasidagi barcha hisoblashlar o’nlik sanoq sistemasi asosida o’rgatiladi. Umuman olganda o’nlik sanoq sistemasining yaratilishi matematika fanining rivoji uchun katta ahamiyatga ega bo’ldi. Kishilik tarixida o’nlik sanoq sistemasidan tashqari 12 lik, 60 lik, 7 lik, 5 lik, 2 lik va hokazo sanoq sistemalari bor. Bu sanoq sistemalarining hammasi bitta umumiy printsip asosida quriladi, ya’ni quyidagi teorema o’rinli:

TEOREMA. t soni 1 dan katta natural son bo’lib, to’plam berilgan bo’lsin. U holda. har qanday a natural son uchun ushbu

(1)

yoyilma mavjud va u yagonadir.

ISBOTI. Avvalo (1) yoyilmaning mavjudligini ko’rsatamiz. Isbotni a ning induksiyasi asosida olib boramiz. bo’lganda bo’lib, tenglik biz izlayotgan tenglik bo’ladi. Faraz qilaylik, (1) yoyilma a dan kichik bo’lgan barcha natural sonlar uchun o’rinli bo’lsin. Unda qoldiqli bo’lish teoremasiga asosan

(2)

mavjud bo’lib, bo’ladi. Farazimizga asosan (1) yoyilma a dan kichik barcha natural sonlar uchun mavjud. Demak,

(3)

yoyilma ham mavjud. (3) ni (2) ga qo’yamiz. U holda

Demak, (1) yoyilma a son uchun ham o’rinli ekan. Matematik induktsiya prinsipiga asosan, (1) yoyilma har qanday natural son uchun ham mavjud bo’ladi.