Mavzu: tasodifiy miqdorlarning matematik kutilmasi, dispersiyasi va xosslari

MAVZU: TASODIFIY MIQDORLARNING MATEMATIK KUTILMASI, DISPERSIYASI VA XOSSLARI
1-§. Matematik kutilma
Ta'rif: Ehtimollik fazosi , Э, da aniqlangan tasodifiy miqdorning matematik kutilmasi deb,

songa aytiladi. Demak, ehtimollik fazosi da aniqlangan o'lchovli funksiyaning Lebeg integrali bo'lar ekan. (Lebeg integrali bilan tanish bo 'Imagan o'quvchi kitobning ilovasida bayon etilgan material bilan tanishib chiqishi mumkin). ni tasodifiy miqdor ning o'rta qiymati deb ham aytiladi va uning uchun

tenglik o'rinli bo'ladi. Bu yerda -tasodifiy miqdorning taqsimoti, -taqsimot funksiyasi.
Keltirilgan ta'rifdan ko'rinadiki mavjud bo 'ladi, agar bo'lsa va uning mavjud bo'lishi yoki bo'Imasligi taqsimot "dumi" ning cheksizda ( ning katta qiymatlarida) kichikligining tartibiga bog‘liq. Masalan, ning katta qiymatlarida bo'lsa, mavjud bo'lmaydi.
Aytib o'tilgan ilovadan ma'lumki, agar taqsimot diskret tipda bo'lsa, (ya'ni "zinopayasimon" funksiya bo 'lsa, (1) dagi Stiltes integrali yig'indiga aylanadi va

Agar zichlik funksiya ga ega bo'lsa (ya'ni uzluksiz tipdagi taqsimot funksiyasi bo 'lsa),

Demak, to ' 'ri chiziqdagi birlik massa taqsimoti ning "og'irlik markazining" koordinatasi bo 'lar ekan (Oxirgi jumlada matematik kutilma ning mexanik talqini keltirilgan). Bundan tashqari ni taqsimotning "markazi" deb ham ataladi, chunki nuqtaning chap va o'ng tomonlarida tasodifiy miqdorning qiymatlari joylashgan bo 'ladi.
Agar to' 'ri chiziq da aniqlangan Borel funksiyasi bo'lsa, tasodifiy miqdor bo'lib, uning uchun

Oxirgi tenglik (1) formuladan kelib chiqadi.
2-§. Matematik kutilma xossalari va misollar.

Endi matematik kutilmaning xossalarini keltiramiz, ular asosan integralning quyidagi xossalari bilan bir xil bo 'ladi.

E1. Agar va lar o'zgarmas sonlar bo 'lsa,

E2. , agar va mavjud bo 'lsa.
E3. Agar bo'lsa, tengsizlik har doim o'rinli.
E4. Agar bo 'lib, bo ‘lsa, . Haqiqatan ham, Chebishev tengsizligiga asosan

E5. hodisaning ehtimolligini matematik kutilma orqali

tenglik bilan ifoda etish mumkin. Bu yerda hodisaning indikatori agar aks holda).
Endi bir nechta misollar keltiramiz.