Mavzu: Tekislikda koordinatalar metodi

Koordinatalar metodining ma`nosi
Koordinatalar metodining ma`nosini keltirishdan oldin tarixga nazar tashlab o`tamiz.
Hozirgi vaqtda har hil sohadagi ilm mutaxassislari tekislikdagi to`g`ri burchakli dekart koordinatalar haqida tushunchaga ega, chunki bu koordinatalar grafik yordamida bir o`zgaruvchining ikkinchisiga bog`liq ekanligini ko`rsatish imkoniyatiga ega. «Dekart koordinatalar» degan atamasining o`zi bu koordinatalar Dekart tomonidan yechilgan degan yolg`on fikrlashga olib boradi. Haqiqatdan ham to`g`ri burchakli koordinatalar geometriyada miloddan avval qo`llanib boshlagan. Aleksandriya maktabining qadimgi matematigi Appoloniy Perikiy ( miloddan avval III – II asrlarda yashagan) shu vaqtlari to`g`ri burchakli koordinatalardan foydalangan.
To`g`ri burchakli koordinatalar yordamida shu vaqtlari ma`lum egri chiziqlar, parabola, giperbola va ellipslarni aniqladi va o`rgandi.
Appoloniy ularni quyidagi tenglamalar bilan ko`rsatgan.
y²=px- parabola
-giperbola
-ellips
bu yerda p va q musbat sonlar.
Tenglamalarni u shu yuqorida yozilgan geometrik formada tasvirlanadi, chunki shu paytlari algebraik simvolikalar mavjud emas edi. Tenglamalarni Apolloniy geometrik tushunchalardan foydalanib tasvirladi; y² – uning terminologiyasida u tomonga ega kvadratning yuzi; px – p va x tomonlariga ega to`g`ri to`rtburchakning yuzi va hokazo. Shu tenglamalar bilan egri chiziqlarning nomlari bog`liq. Parabola grek tilidan tarjima qilganda tenglikni aniqlaydi, yoki y² yuzga ega to`g`ri to`rtburchakka teng bo`ladi. Giperbola grek tilidan tarjima qilganda me`yoridan ortiq deganni bildiradi yoki kvadratning yuzi y<sup>2</sup> to`g`ri to`rtburchak yuzidan px dan ortiq. Ellips grek tilidan tarjima qilganda yetmaslikni bildiradi yoki kvadratning yuzi to`g`ri to`rtburchakning yuzidan kichik.
Dekart to`g`ri burchakli koordinatalarga ishoralarni tanlash qoidasini kiritdi. Ammo asosan u to`g`ri burchakli koordinatalardan foydalanib tekislikdagi analitik geometriyani tuzdi, shu bilan u geometriya va algebrani bog`ladi. Shuni aytib o`tish kerakki, Dekart bilan bir vaqtda yana bir frantsuz matematigi Ferma ham analitik geometriyani tuzgan edi.
Analitik geometriyaning ma`nosi shundan iborat u geometriya va algebra orasidagi bog`liqlikni o`rnatdi. Matematikaning bu ikki bo`limi Dekart vaqtlarida rivojlanishning yuqori darajasiga etgan edi. Lekin ular ming yillar davomida birbiridan mustaqil ravishda rivojlanib kelgan va analitik geometriyaning kelib chiqishidan keyin ular orasida kuchli bo`lmagan bog`liqlik paydo bo`ldi.
Koordinatalar sonlar yordamida tekislikdagi yoki fazodagi ixtiyoriy nuqtaning vaziyatini aniqlab borishga yordam beradi. Bu har xil turdagi figuralarni sonlar yordamida yozib shifrlashga imkoniyat beradi. Koordinatalar orasidagi munosabatlar faqat bitta nuqtani aniqlab qolmasdan,nuqtalarning ba`zi to`plamini aniqlaydi. Masalan, agarda abtsissasi ordinataga teng bo`ladigan nuqtalarning barchasini belgilasak yoki y=xtenglamasini qanoatlandiradigan barcha nuqtalarni koordinatalar tekisligida belgilasak, u holda to`g`ri chiziq – birinchi va uchinchi koordinata burchaklarining bissektrisalari hosil bo`ladi.
Ayrim vaqtlarda «nuqtalar to`plami» o`rniga, «nuqtalarning geometrik o`rni» ishorasi qo`llaniladi. Masalan, x=y munosabatini qanoatlantiruvchi nuqtalarning geometrik o`rni – bu birinchi va uchinchi koordinata burchagining bissektrisasi bo`ladi. Algebra va geometriya orasidagi bog`liq, bir tomondan algebra ikkinchi tomondan geometriya bo`lib, matematikada inqilobga olib keldi. U matematikani uning bo`limlari orasidagi «Xitoy devori» bo`lmaydigandek yagona ilm sifatida qayta tikladi.
Koordinatalar metodining ma`nosiga keladigan bo`lsak, koordinatalar metodining ma`nosi shundan iborat figuralarni tenglamalar ko`rinishida berib va har xil geometrik munosabatlarni koordinatalarda ifodalay o`tirib biz algebraning imkoniyatlari yordamida geometrik masalani yecha olamiz. Va aksincha, koordinatalardan foydalanib, algebraik va analitik munosabatlarni va faktlarni geometrik nuqtai nazardan tushuntirsa bo`ladi va shunday qilib, geometriyani algebraik masalalarni yechishga qo`llashga bo`ladi.
Koordinatalar metodi – bu universal metodlardan biri. U algebra va geometriya orasidagi muntazam bog`liqlikni ta`minlaydi. Algebra va geometriya bir-biri bilan bog`lanib ko`p natijalarni osonlashtiradi. Maktab kursi geometriyasida ba`zi hollarda koordinatalar metodi toza geometrik usullarga qaraganda teoremalarni isbotlashda va ko`plab masalalarni yechishda ustunlikka ega Koordinatalar metodi bitta geometrik murakkablik bilan bog`liq. Masala u yoki bu koordinatalar sistemasini tanlashga bog`liq har xil analitik ko`rinishni oladi. Faqat yetarli darajadagi tajriba koordinatalar sistemasini to`g`ri tanlashga yordam beradi.