Mavzu: Tekislikda koordinatalar metodi

Tekislikda affin va qutb koordinatalar sistemasi.
Fazoda yoki tekislikda affin koordinatalar sistemasini kiritish uchun birorta bazis va bitta nuqta tanlanadi. Agar { } bazis va О nuqta berilgan bo'lsa, vektorning { } bazisdagi koordinatalari M nuqtaning affin koordinatalari deyiladi.
1 -ta’rif. Berilgan , { } bazis uchun
(
tengliklar bajarilsa, { } ortonormal bazis deyiladi.
2-ta ’rif. Ortonormal bazis yordamida berilgan koordinatalar sistemasi to ‘g ‘ri burchakli yoki dekart koordinatalar sistemasi deb ataladi.

Teorema. Dekart koordinatalar sistemasida vektoming berilgan bazisdagi koordinatalari, uning koordinatalar о ‘qlariga tushirilgan proeksiyalari bilan ustma-ust tushadi.
Isbot. Bizga { } ortonormal bazis berilgan bo‘lsa, ularning boshlarini О nuqtaga joylashtirib OXYZ koordintalar sistemasini kiritaylik. Agar
= + у + z
bo‘lsa, vektoming boshini koordinata boshiga joylashtirib, uning oxirini M bilan belgilaymiz. Agar M nuqtaning koordinata o'qlariga ortogonal proeksiyalarini А, В, С harflari bilan belgilasak = x , = y , = z tengliklarni hosil qilamiz. Ikkinchi tomondan , , kesmalarning kattaliklari mos ravishda x, y, z sonlariga teng bo‘lgani uchun x = pr_Ox ,
y = pr_Oy , z = pr_Oz munosabatlarni hosil qilamiz.
1-natija. Pr_i( )=pr _I + pr _i
Isbot. Bizga , o‘q berilgan bo'lsin: shunday OXYZ koordinatalar sistemasi kiritamizki, OX koordinata o‘qi bilan ustma-ust tushsin. Agar

bo‘lsa, teoremaga ko‘ra pr _I =x_a va pr _I =x_b , pr _I ( )=x_a+b
tengliklami hosil qilamiz. Lekin vektorlarni qo'shganda ularning koordinatalari
mos ravishda qo‘shilgani uchun pr _I ( )=x_a+x_b munosabatni olamiz.

Tekislikda kutb koordinatalar sistemasini kiritish uchun birorta О nuqtani va bu nuqtadan o‘tuvchi o‘qni tanlab olamiz. Tanlangan nuqtani qutb boshi, o‘qni esa qutb o‘qi deb ataymiz va uni bilan belgilaymiz. Tekislikda berilgan ixtiyoriy O nuqtadan farqli M nuqta uchun bilan masofani, ( bilan esa o‘q bilan OM nur orasidagi burchakni belgilaymiz. Bu kattaliklar M nuqtaning qutb koordinatalari deyiladi va M( , ) ko'rinishda belgilanadi.

Tekislikning О nuqtadan farqli nuqtalari bilan qutb koordinatalari o‘rtasidagi moslik o‘zaro bir qiymatli bo‘lishi uchun va kattaliklar uchun quyidagi chegara qo'yiladi: 0< < + , 0 <2
Agar (.x ,y ) D ekart koordinatalar sistemasini 4-rasmdagidek kiritsak, quyidagi

x = , y =
bog'lanishlarni olamiz.Berilgan M nuqtaning Dekart koordinatalari ma’lum bo'lsa, uning qutb koordinatalarini topish uchun

formula bo‘yicha birinchi qutb koordinatani topamiz.Ikinchi qutb koordinatani topish uchun M nuqtaning qaysi chorakda joylashganligini bilishimiz kerak va

tengliklardan foydalanishimiz kerak.
Tekislikda Dekart koordinatalar sistemasini almashtirish
Orientasiya: Bir vektordan ikkinchisiga qisqa burilish yo‘nalishi soat strelkasi yo‘nalishiga qarama-qarshi bo'lsa, bu vektorlar o‘ng ikkilik, aks holda chap ikkilik tashkil qiladi deyiladi. Bazis sifatida biror ikkilik tanlansa, biz orientatsiya tanlab olingan deb hisoblaymiz. Bizga { va { ortonormal bazislar berilgan bo'lsin. Bu bazislar yordamida
kiritilgan Dekart koordinatalar sistemasilarini mos ravishda O xy va O 'x'y' bilan belgilaylik. Nuqtaning “eski” va “yangi” koordinatalari orasidagi bog'lanishni topamiz. “Yangi” koordinatalar sistemasi markazining “eski” koordinata sistemasidagi koordinatalarini (a, b) bilan belgilaylik.

Tekislikda M nuqta berilgan bo‘lib,uning Oxy va O 'x'y' sistemalardagi koordinatalari mos ravishda (x ,y ) va {x',y') juftliklardan iborat bo'lsin.
Biz quyidagi tengliklarga ega bo`lamiz:

= x + y , O 'M = x' ' + y ’ ' , = a + b
Har bir vektorni { } bazis orqali ifodalash mumkinligi uchun

(1)
munosabatlarni hosil qilamiz. Bu ifodalarni
= ' + , =
tengliklarga qo‘yib
=
tenglikni hosil qilamiz.
Bazis vektorlari { } chiziqli erkli oilani tashkil etganligi uchun yuqoridagi munosabatdan
x = a₁₁x'+a₁₂y'+a
y=a₂₁x'+a₂₂y'+b (2)
formulalami olamiz. Endi a_ij koeffitsientlarni topish uchun ikkita holni qaraymiz.
Birinchi hol: { } va { } bazislar bir xil orientatsiyaga ega:
Bu holda agar bilan va vektorlar orasidagi burchakni belgilasak, va ' vektorlar orasidagi burchak ham ga teng bo‘ladi. Yuqoridagi (1) tengliklarning har ikkalasini va vektorlarga skalyar ko‘paytirib,
, , ,
formulalarni olamiz. Agar { } va { } bazislar har xil orientatsiyaga ega bo‘lsa, va vektorlar orasidagi burchak ga teng bo'ladi. Bu holda (1) tengliklarning har birini vektorlarga skalyar ko'paytirib , , , formulalarni hosil qilamiz. Bu formulalarni (2) formulalarga qo‘yib, mos ravishda quyidagi ikkita formulalarni olamiz:


(3)

Bu holda o’tish determinanti uchun

tenglik o'rinli.
Ikkinchi holda bazislaming orientatsiyalari har xil va koordinatalarni almashtirish formulalari

ko‘rinishda bo'ladi.
Bu holda o‘tish determinanti uchun '

tenglik o‘rinli bo'ladi. Demak, koordinatalar sistemesini almashtirganimizda o‘tish matritsasining determinanti musbat bo‘lsa, oriyentatsiya o'zgarm aydi. Agar o‘tish matritsasining determinanti manfiy bo‘lsa, oriyentatsiya qarama- qarshi oriyentatsiyaga o‘zgaradi.