Mavzu: trikomi tenglamasi
Yüklə 0,55 Mb.
|
|
T masala. D sohada regulyar , da uzluksiz egri chiziqda va xarakteristikalardan bittasida , masalan, AC da berilgan
Qiymatlarni qabul qiluvchi tenglamaning yechimi topilsin, bu yerda l- egri chiziqning uzunligi. T masalaning shartiga ko’ra funksiya Kesmada uzluksiz bo’lishi kerak . Bundan tashqari , va funksiyalar ochiq -1 shartlarning ikkinchisiga asosan xarakteristikada berilgan funksiyaga tenglaymiz: bu yerda . Agar almashtirish bajarsak , bo’lganda bo’ladi , so’ngra x o’rniga yana x yozsak va bu tenglikda almashtirishni bajarsak , u quyidagi ko’rinishda yoziladi: Bu formulani qulayroq ko’rinishda yozib olish maqsadida kasr tartibli integraldan foydalanamiz. Shunga muvofiq Bularga asosan , tenglik , ushbu yoki bu yerda Ushbu Tenglikni bevosita tekshirib ko’rish qiyin emas. Bu formula tenglamaning u(x,y) yechimi D saohada AC xarakteristikada berilgan qiymatni qabul qilishidan aniqlanadigan birinchi funksional tenglamani beradi. Agar bo’lsa ,formula soddaroq ko’rinishga keladi. Bu tenglikning har ikki tomoniga operator bilan ta’sir qilib, , tengliklarga asosan formulaga ega bo’lamiz. 2.Ekstremum printsipi va T masala yechiminingyagonaligi AC xarakteristikada nolga teng bo’lgan T masalaning u(x,y) yechimi yopiq sohada musbat maksimumni va manfiy minimumni egri chiziqda qabul qiladi. Haqiqatan ham , Xopf printsipiga asosan sohaning ichida u(x,y) funksiya ekstremumga erishmaydi . Faraz qilaylik , musbat maksimumga u(x,y) funksiya yopiq sohada -1 tenglikni ko’rinishda yozib olamiz. Bu formulaga muvofiq da bolganligi sababli bo’ladi. Bu tengsizlik esa Zaremba-Jiro prinsipiga qarama-qarshidir . Ekstremum prinsipidan T masala yechimining yagonaligi kelib chiqadi. Chindan ham , agar bir jinsli, ya’ni bo’lgan Tmasalani qarasak , hozirgina isbotlangan prinsipga ko’ra sohada regulyar , da uzluksiz bo’lgan u(x,y) yechim o’zining ekstremumini qabul qiladi. Demak , barcha da bo’ladi . formulaga asosan v(x)=0 ekanligi kelib chiqadi. U holda Dabru formulasidan u(x,y) funksiya nolga teng bo’ladi. T masala yechimining mavjudligi. Avvalo tenglama uchun Trikomi masalasi yechiminig mavjudligining Trikomi tavsiya qilgan isbotning g’oyasi to’g’risida to’xtalib o’tamiz . Bu g’oya shundan iboratki , funksiyani ma’lum deb hisoblab, sohada N masala sohada esa Koshi yoki Koshi –Gursa masalasi yechiladi. So’ngra hosil qilingan ikkita yechimni va ularning birinchi tartibli hosilalarini parabolic buzilish chizig’ining AB kesmasida bir-biriga urinadi , ya’ni tenglashtiriladi. Shunday qilib , T masala yechimi mavjudligining isboti v(x) funksiyaga nisbatan , T masala ekvivalent bo’lgan singulyar integral tenglamani yechishga keladi . Bu tenglamaning yechilishi T masalaning yagonaligidan kelib chiqadi . Endi tengliklarni e’tiborga olib , N masalaning yechimini beruvchi formulada y=0 desak, formulani hosil qilamiz , bu yerda formula tenglamaning u(x,y) yechimi sohaning chegarasida berilgan qiymatni qabul qilishidan aniqlanadigan AB kesmadagi ikkinchi funksional tenglamani beradi . Avvalgi bandlarda olingan natijalarga asosan tenglama uchun trikomi masalasi yechimining mavjudligi masalasi va tenglamalarning yechilish masalasiga ekvivalentdir. Bu tenglamalardan ni chiqarib tashlash natijasida tenglik hosil qilamiz . Ushbu formulani e’tiborga olib , tenglikning har ikki tomoniga operator bilan ta’sir qilamiz, u holda bu yerda yoki bundan tenglamaga ega bo’lamiz, bu yerda . Shunday qilib , Trikomi masalasini unga ekvivalent bo’lgan v(x) funksiyaga nisbatan singulyar integral tenglamaga olib keldik. Ushbu Ayniyatdan foydalanib , tenglamani ko’rinishda yozib olamiz , bu yerda . tenglamada o’zgaruvchilarni , formulalar bilan almashtiramiz . U holda yoki . Shu bilan birga Bularni e’tiborga olsak , tenglama quyidagi ko’rinishga keladi : bu yerda ko’rinishdagi singulyar integral tenglamalar nazariyasi hozirgi vaqtda to’la yaratilgan bo’lib, bu nazariya akademik N.I.Musxeleshvilining kitobida batafsil bayon qilingan. Bu masalalar bizning darsligimiz doirasidan tashqarida bo’lgani uchun ularni biz bu yerda keltira olmaymiz. Ammo, tenglamaning yechimini Karleman usuli bilan bevosita toppish mumkin, agar uning o’ng tomoni intervalda Gyolder shartini qanoatlantirib , bo’lsa , singulyar integral tenglamaning birdan-bir yechimi , funksiyalar sinfida ushbu formula bilan aniqlanadi. 3.Trikomi tenglamasi xususiy yechimlari va ularni Bessel funksiyalari orqli qurish. Bizga ikki mustaqil o’zgaruvchili u=u(x,y) funksiya D sohada berilgan va ikkinchi tartibli uzluksiz hosilalarga ega Trikomi tenglamasi quyidagicha berilsin. yoki Tenglamaning xarakteristik tenglamasini tuzamiz, orqali tipini aniqlaymiz 1)y<0 bo’lsa giperbolik tipga, 2)y=0 bo’lsa parabolik tipga , 3)y>0 bo’lsa elliptik tipga tegishli tenglama deyiladi. Demak Trikomi tenglamasi aralash tipga tegishli ekan. tenglamaning xarakteristik tenglamasi bo’lib, uning yechimlari xarakteristikalar deyiladi. y o’zgaruvchining ishorasiga qarab aniqlangani uchun aralash tipdagi tenglama hisoblanadi. Endi xususiy hosilali tenglamalarni yechishda ko’p qo’llaniladigan usullardan biri o’zgaruvchilarni ajratish usulidan (Fur’e usuli) foydalanib Trikomi tenglamasining yechimini izlaymiz deb faraz qilamiz va undan xususiy hosilalarni olamiz : va Natijalarni tenglamaga qo’ysak Bundan bir xil no’malumlarni bir tarafga o’tkazsak tenglikga ega bo’lamiz . Bu tenglamaning chap tomoni faqat x o’zgaruvchiga , o’ng tomoni esa faqat y o’zgaruvchiga bog’liq bo’lgani uchun nisbatlar o’zgarmas songa teng bo’ladi. Tenglamadan tenglama ikkita chiziqli ikkinchi tartibli tenglamaga ajraladi. Endi bu tenglamaning yechimini oddiy differensial tenglama sifatida izlaymiz. Dastlab tenglamaning yechimini , kabi belgilab kerakli hosilalar olamiz va tenglamaga qo’yib r no’malumni aniqlaymiz. Bundan r ni topamiz yechimni hosil qilish uchun , hollarni alohida qaraymiz. 1) bo’lsa tenglamaning umumiy yechimi Agar yechimda va kabi almashtirsak giperbolik funksiyaga keladi. 2) bo’lsa umumiy yechim 3) bo’lsa tenglamaning umumiy yechimi bo’lib , bu uchta funksiyalar xos funksiyalar deyiladi. Endi ikkinchi y o’zgaruvchiga bog’liq funksiya Y(y) ni tenglama uchun darajali qator ko’rinishida izlaymiz. Bu qatordan birinchi va ikkinchi tartibli hosilalar olib tenglamaga qo’ysak quyidagi natijaga ega bo’lamiz. Endi aniqmas koeffitsiyentlar usulidan foydalanib y ning oldidagi barcha nolga teng koeffitsiyentlarni topamiz: deb hisoblab n=3 hadidan boshlab yuqoridagi rekurent tenglama orqali quyidagilarga ega bo’lamiz …. Bu koeffitsiyentlarning qiymati induksiya usuli orqali quyidagicha hisoblanadi; Endi n=1,2,3….. uchun shaklidagi shartlarni ko’rib chiqamiz. dan n=1,4,7… …… Yana induksiya orqali ni topamiz va yana induksiyadan n=1,2,... uchun yuqoridagi yig’indilar bessel funksiyalari orqali ifodalaniladi . Endi Tenglamaning yechimini Bessel funksiyalari orqali quyidagi uchta hollarni alohida qaraymiz. 1) bo’lganda bo’lganda yechim quyidagicha 2) bo’lganda 3) bo’lsa , yechim Bu yerda va maxsus funksiyalar birinchi tur Bessel funksiyalar bo’lib quyidagicha bo’ladi. va Endi bu usulni singular koeffitsientli elliptik – giperbolik tipdagi tenglama uchun Trikomi -Naxushev (TN) masalasini ko’rib chiqaylik deb faraz qilamiz va hosilalarni olib tenglamaga qo‘yamiz Bundan esa va bundan esa tenglama ikkita chiziqli ikkinchi tartibli differensial tenglama kelib chiqadi x o’zgaruvchiga tenglamaning yechimini tenglama sifatida qaragan edik va faqat tenglamaning yechimini Besselning funksiyalari orqali quramiz Endi hollarni alohida qaraymiz bundan tenglamaning umumiy yechimi bo’ladi. Yüklə 0,55 Mb. Dostları ilə paylaş:
|