Mavzu: Turli sanoq sistemalarida amallarni bajarish

Mavzu:Ko’rsatkichli va logarifmik tengsizliklar
logax < b, logax > b, logax ≤ b, logax ≥ b ko’rinishdagi (bu yerda a > 0, a ≠ 1) tengsizliklar eng sodda logarifmik tengsizliklardir. Ularni yechishda y = logax funksiyaning monotonligidan foydalaniladi. logax < b logarifmik tengsizlikni qaraymiz.
Agar 0 < a < 1 bo‘lsa, bu tengsizlikning barcha yechimlari to‘plami (ab;
+∞) oraliqdan iborat bo‘ladi.
Agar a > 1 bo‘lsa, qaralayotgan tengsizlikning barcha yechimlari to‘plami (0; ab) oraliqdan iborat bo‘ladi.
logax > b, logax ≤ b, logax ≥ b tengsizliklar ham shunga o‘xshash yechiladi.

1- m i s o l . a) log3x < 9; b) log1 x < 9 tengsizliklarni

3 yechamiz.
Yechish .
a) log3x = 9 tenglamaning x = 39 ildizini topamiz. Asos a = 3 > 1, b = 9.
Yechim: (0; 39) yoki 0 < x < 39;
b) a bo’lgani uchun yechim (3-9; +∞)
oraliqdan iborat.
Teorema. Agar 0 < a < 1 bo‘lsa, loga f(x) > loga g(x) tengsizlik
0 < f(x) < g(x) qo‘sh tengsizlikka, a > 1 bo‘lsa, f(x) > g(x)> 0 qo‘sh tengsizlikka teng kuchlidir.
Bu teoremaning isboti logarifmik funksiyaning monotonligidan kelib chiqadi.
Ko‘rsatkichli va logarifmik tenglama va tengsizliklar.
y= ax ko‘rinishdagi funkciya ko‘rsatkichli funkciya deyiladi. Bunda a=1, a=0.
A=1 bo‘lsa, y= ax funkciya quyidagi xossalarga ega bo‘ladi:
D(y)=R;
b) E(y)=R+;
v) funkciya o‘sadi;
g) x=0 da y=1;
x>0 da ax>1;
x<0 da 0< ax<1.
1-shakl.
3. y= ax funkciya 0< a<1 da quyidagi xossalarga ega bo‘ladi:
a) D(y)=R;
b) E(y)=R+;
v)funkciya kamayadi;
g) x=0 da y=1;
d) x>0 da 0< ax<1;
e) x<0 da ax>1.
2-shakl.
Ta’rif: Musbat b sonining a asosga ko‘ra logarifmi deb b ni hosil qilish uchun a ni ko‘tarish kerak bo‘lgan daraja ko‘rsatkichiga aytiladi. Bunda a1, a>0.
v sonining a asosga ko‘ra logarifmi odatda loga b ko‘rinishda yoziladi.
Ta’rif: Asosi 10 dan iborat bo‘lgan logarifmlarni o‘nli logarifmlar deyiladi. Ularni odatda lgb ko‘rinishda yoziladi, bunda b ixtiyoriy musbat son.
Ta’rif: Asosi e sonidan iborat logarifmni natural logarifm yoki Neper logarifmi deyiladi. Ularni odatda lnb ko‘rinishda yoziladi, bunda b ixtiyoriy musbat son.
y=ax ko‘rsatkichli funkciya monoton funkciya bo‘lib, u teskarilanuvchidir.
y=ax funkciya grafigini y=x to‘g‘ri chizig‘iga nisbatan simmetrik akslantirsak, y=logax funkciya grafigini hosil qilamiz.
a>1 bo‘lsa, logarifmik funkciya quyidagi xossalarga ega bo‘ladi:
a) D(y)=R+;b) E(y)=R;
v) funkciya o‘sadi;
g) x=0 da logax=0;
0da logax<0;
x>1 da logax>0 (3-shakl).
y= logax funkciya 0da quyidagi xossalarga ega:
a) D(y)=R+;
b) E(y)=R;
v) funkciya kamayadi;
g) x=0 da logax=0;
0da logax>0;
x>1 da logax<0 (4-shakl).
4- shakl.
Logarifmlar quyidagi asosiy xossalarga ega:
loga(xy)= logax+logay;