Mavzu: Xo'jalik yurituvchi subyektlarda hisob siyosatini shakllantirish

2. Ekstremumning ikkinchi tartibli zaruriy va yetarli shartlari. Stasionar nuqtalarni optimallikka tekshirishda quyidagi ikkinchi tartibli zaruriy va yetarli shartlardan foydalanamiz. 3-teorema. f(x) funksiya x*Rn ikki marta differensiallanuvchi bo’lsin. Agar x*- lokal optimal reja bo’lsa, (5) bo’ladi.

Isboti. Isbotni minimum uchun keltiramiz. Maksimum uchun ham shunga o’xshash bajariladi. x*- lokal optimal reja, ya’ni f(x) funksiyaning Rn dagi lokal minimum nuqtasi bo’lsin. LRn Uchun x(t)=x* +Lt, tR1 va (t)=f(x(t)), t R1 funksiyalarni qaraymiz. t=0-(t) funksiya uchun lokal minimum nuqtasi bo’ladi. U vaqdta, (t)ning t=0 nuqtada differensiallanuvchiligi va bir o’zgaruvchili funksiya uchun ekstremumning zaruriy shartiga asosan (12-§, 2- teorema),  ( 0)0.  ’’(t)t=0= , bo’lgani uchun LT munosabatga ega bo’lamiz, ya’ni (5) o’rinlidir. 4-teorema. f(x) funksiya x*Rn nuqtada ikki marta differensiallanuvchi bo’lsin.

Isboti. Isbotni minimum uchun keltiramiz. Maksimum uchun ham shunga o’xshash bajariladi. x*- lokal optimal reja, ya’ni f(x) funksiyaning Rn dagi lokal minimum nuqtasi bo’lsin. LRn Uchun x(t)=x* +Lt, tR1 va (t)=f(x(t)), t R1 funksiyalarni qaraymiz. t=0-(t) funksiya uchun lokal minimum nuqtasi bo’ladi. U vaqdta, (t)ning t=0 nuqtada differensiallanuvchiligi va bir o’zgaruvchili funksiya uchun ekstremumning zaruriy shartiga asosan (12-§, 2- teorema),  ( 0)0.  ’’(t)t=0= , bo’lgani uchun LT munosabatga ega bo’lamiz, ya’ni (5) o’rinlidir. 4-teorema. f(x) funksiya x*Rn nuqtada ikki marta differensiallanuvchi bo’lsin.

Agar bo’lsa, x* -(1) masalada lokal optimal reja bo’ladi. Isboti. Ixtiyoriy l Rn , l=1uchun xi(t)=x*+lt, tR1 va i(t)=f(xi(t)), tR1 funksiyalarni qaraymiz. Teoremaning shartiga ko’ra, i(0)= i’’(0)= . Teylor formulasidan foydalansak,L(t)-L(0)= tL'(0)+ L''(0)+0(t2)= L''(0)+0(t2) L''(0)+0(t2)= munosatga ega bo’lamiz.

bo’lgani uchun, oxirgi munosabatdan yetarlicha kichik t>0 lar va LRn , L=1 uchun L(t)-L(0)>0 yoki f(xi(t))>f(x*) kelib chiqadi. Bu esa x* ning lokal minimum nuqtasi ekanligini ko’rsatadi. Xuddi shunga o’xshash ko’rsatish mumkinki, agar x* nuqtada Bo’lsa, x*-lokal maksimum nuqtasi bo’ladi. 3-misol. f(x)=x12+(x2-1)2 min, xR2. =2x1=0, =2(x2-1)=0x1=0, x2=1.x*=(0,1)- stasionar nuqta. = >0