Microsoft Word maruza matn atom
Yüklə 350,63 Kb.
|
|
дх ду dz
Бирор майдонда х,аракатланаётган зарра учун Шредингер тенгламасининг куринишини куйидагича ёзиш мумкин: Вл2т 2m А^ + —^(Е - U)v = 0, Ау^^(Е - U)v = 0. h п Шредингернинг ва^тга богли^лик тенгламаси куйидаги куринишга эга булади: h ду _ П dw П2 Ау + Uy, - = - П- Ау + Uy. 2ni dt Вл2т i dt 2m Агар тулкин функциянинг комплекс кушмаси, яъни у* = A * e ' 2"(^t-^ ^) олинса, у х,олда куйидаги тенгламалар х,осил булади: Вл2т Вл2т Ау * + —^ Ey* = 0, Ау * +—^ Ey* = 0, Ау * + ——(E - U)y* = 0, И п И 2m Ау * + (E - U)у* = 0. Демак, Шредингер тенгламасида зарранинг тулкин функцияси ёки унинг комплекс кушмаси бир хил натижа берар экан. Шредингер тенгламасининг ечими булиб тулкин функция х,исобланади. Бунда тулкин функция куйидаги шартларга буйсуниши керак: 1. Узлуксиз булиши керак. Бир кийматли булиши керак. Чекли булиши керак. Водород атоми ядросининг массаси ундаги электроннинг массасидан анча катта булганлиги сабабли, ядрони электронга нисбатан кузгалмас деб караб у билан координата укларини боглаш мумкин. Бундан ташкари ядронинг кулон майдони сферик симметрияга эга булади. Шунинг учун водород атоми учун ёзилган Шредингер тенгламасини декарт координаталар системасида ечиш нокулайдир. Уни сферик координаталар системасида ечиш анча кулай. Унда радиус, азимутал ва кутб бурчаклари каби координаталардан фойдаланилади. Сферик координаталар системасида Лаплас оператори куйидагича ёзилади: 1 д . 2 ^ 1 1 д2 — —(r —) + 2 • Q яо ' r дг дг r sin 0 д0 (sin 0—) + - д^' r ^sin2 0 дф2 Ушбу координаталар системасида водород атоми учун Шредингер тенгламаси куйидагича ёзилади: 1 д .. 2 1 д —г (г + —2 r2 дг дг r ^ sin 0 дв (sin 0^^) + 1 д2у 2т дв r sin2 0д2ф h + —^ (E + — )у = 0. Бу тенгламадаги r 0 дан да гача, 0 азимутал бурчак 0 дан п гача, кутб бурчак ф эса 0 дан 2 п гача узгаради. Ушбу тенгламанинг ечими Фурье методи, яъни узгарувчиларга ажратиш методидан фойдаланган х,олда топилади: V(r, 0, ф) = R(r )Y (0, ф). R(r) - радиал функция, Y(0, ф) - бурчак функция дейилади. Бу функцияни куйидаги куринишда ёзиб олиш мумкин: Y (0, ф) = 6(0) F (ф), бу ерда 6(0) - азимутал функция, F(ф) - кутбий функция. Бунинг натижасида битта Шредингер тенгламасидан учта тенглама х,осил булади: 1 d If F dф = -т 2 dcos0 dQ . —^+ —+(q - d02 sin 0 d0 m sin2 0 )Q = 0, 1 d , 2 d^ 2m ^^(r ^) (E + 2 +2 e h q r2 dr dr h2 r 2m r )R = 0, бу ерда m = 0,±1,±2,±3, , q-биринчи ажратиш параметри, те-электрон массаси. Биринчи тенгламанинг ечими куйидаги куринишда булади: F (ф) = 1 _гтф 42п Иккинчи тенгламани ечиш натижасида биринчи ажратиш параметрини q = l(l +1), (l= 0, 1, 2, 3, n-1) эканлигини топиш мумкин. Иккинчи тенгламанинг ечими куйидаги куринишда булади: Qi,m (0) = sin т 0Z ai cosj 0. j=0 Бурчак функциянинг куринишини эса куйидагича ёзиш мумкин: Yl,m (0, ф) = 1 Бурчак функция 1, m-сонларига боглик булганлиги учун унинг l=m=0 даги кийматини х,исоблаш мумкин. У Y0 0(0, ф) = 1 л/4п булади. 2 r l, m-сонларининг маъноларини ани^лаш учун электроннинг сферик координаталар системасида ёзилган орбитал моментининг z у^идаги проекция операторига мурожаат киламиз. Ушбу операторнинг куриниши куйидагича булади: л Q Lz =-ih—. 5ф Шу оператор билан электроннинг тулкин функциясига таъсир курсатилса, куйидаги ифода х,осил булади: л Lz ш = -i%— = Йтш. 5ф л Оператор таърифидан келиб чикиладиган булса, Lz операторнинг хусусий киймати Lz = mh булади. m сонига магнит квант сони дейилади ва у зарра орбитал моментининг z укидаги проекциясини ифодалайди. Электроннинг орбитал моменти квадрати операторига мурожаат килайлик. Бу операторнинг куриниши куйидагича булади: L =-h2 1 ^ ^ А ^ 1 ^2 (sin 0—) + - sin 0 50 5^^ sin2 0 5ф2 Бу оператор билан электроннинг тулкин функциясига таъсир курсатилса, куйидаги ифода х,осил булади: L ш = -h2 1 5 ^ 1 52ш (sin ) + —г ^ 50 sin2 0 5ф sin 0 50 = h 2^ш = h2/(I + 1)ш. Бу ерда х,ам L операторнинг хусусий киймати L = h2/(I +1) булади. Бундан L h^Jli/ +1) эканлиги келиб чикади. l сонига орбитал квант сони дейилади ва у зарранинг орбитал моментини характерловчи сон х,исобланади. Водород атоми учун ёзилган Шредингер тенгламасининг радиал кисмини учими куйидаги куринишга эга булади: Rnl (r) = exp(—)Zb rj nr 1 j=/ Бу ечимдан шу нарса куринадики, радиал функция бош ва орбитал квант сонларининг оладиган кийматларига боглик буларкан. Шунинг учун n = 1, / = 0 кийматлар 2 2 2 2 r учун радиал функциянинг кийматини х,исоблаб топиш мумкин. У R10 ^-^exp( ) r/2 булади. Водород атоми учун Шредингер тенгламасининг ечими куйидагича булади: r п-\ 1 1-\ т\ Wnlm (r. б. Ф) = eXP( )Z bjr'^re‘m^ Sin m aj C0Sj 6. ПГ\ j=i V2^ j=0 n = \, I = 0, m = 0 ^оли учун тулкин функция куйидагича ^исобланади: \ r У\,0,0 =^^ exP( ). Шундай тулкин функцияга эга булган электронни dV х,ажмда топиш э^тимоли I |2 4 2r dW = V\00(r,0,ф) dV ^yexp( )r^dr Г\ r\ булади. Бунда dV = 4nr^dr эканлиги х,исобга олинди. Электрон радиал э^тимол зичлиги dW Р = dr нинг экстремум киймати топилса, у r = Г\ булади. Бундан биринчи Бор орбитасининг квант механикадаги мазмуни келиб чикади. Водород атоми ядросининг массаси ундаги электроннинг массасидан анча катта булганлиги сабабли, ядрони электронга нисбатан кузгалмас деб караб у билан координата укларини боглаш мумкин. Бундан ташкари ядронинг кулон майдони сферик симметрияга эга булади. Шунинг учун водород атоми учун ёзилган Шредингер тенгламасини декарт координаталар системасида ечиш нокулайдир. Уни сферик координаталар системасида ечиш анча кулай. Унда радиус, азимутал ва кутб бурчаклари каби координаталардан фойдаланилади. Сферик координаталар системасида Лаплас оператори куйидагича ёзилади: \ д . 2 ^ \ д ^ д ^ \ д2 — —(r —) + 2 • Q яо ' r dr dr r sin 0 дб (sin 0—) + - д^' r ^sin2 0 дф2 Ушбу координаталар системасида водород атоми учун Шредингер тенгламаси куйидагича ёзилади: \ д -I-(r=д^) + 2 r2 дr дr r sin б дб (sin 0®^) + \ д2у 2т д0 r sin2 0д2ф h + —^ (E + — )у = 0. Бу тенгламадаги r 0 дан да гача, 0 азимутал бурчак 0 дан п гача, кутб бурчак ф эса 0 дан 2 п гача узгаради. 2 r Ушбу тенгламанинг ечими Фурье методи, яъни узгарувчиларга ажратиш методидан фойдаланган х,олда топилади: V(r, 0, ф) = R(r )Y (0, ф). R(r) - радиал функция, Y (0, ф) - бурчак функция дейилади. Бу функцияни куйидаги куринишда ёзиб олиш мумкин: Y (0, ф) = 6(0) F (ф), бу ерда 6(0) - азимутал функция, F (ф) - кутбий функция. Бунинг натижасида битта Шредингер тенгламасидан учта тенглама х,осил булади: 1 d If F dф = -m 2 dcos0 dQ . —^+ —+(q - d02 sin 0 d0 m sin2 0 )Q = 0, 1 d , 2 d^ 2m ^^(r ^) (E + 2 +2 e n q r2 dr dr n2 r 2m r )R = 0, бу ерда m = 0,±1,±2,±3, , q-биринчи ажратиш параметри, те-электрон массаси. Биринчи тенгламанинг ечими куйидаги куринишда булади: F (ф) = 1 _zm9 42k. Иккинчи тенгламани ечиш натижасида биринчи ажратиш параметрини q = l(l +1), (l= 0, 1, 2, 3, n-1) эканлигини топиш мумкин. Иккинчи тенгламанинг ечими куйидаги куринишда булади: Qi,m (0) = sin m 0Z ai cosj 0. j=0 Бурчак функциянинг куринишини эса куйидагича ёзиш мумкин: Yl,m (0, ф) = 1 42k 1=0 j Бурчак функция l, m-сонларига боглик булганлиги учун унинг l=m=0 даги кийматини х,исоблаш мумкин. У Y0 0(0, ф) = 1 44к булади. Maruza Yüklə 350,63 Kb. Dostları ilə paylaş:
|