Microsoft Word Materiallar Full

ЗАДАЧА НЕЧЕТКОГО ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ  

 

Дж.И.

ЗЕЙНАЛОВ, М.Е.АЛИЙЕВ,  Г.А.КАСУМОВ 

Нахичеванский Государственный Университет 

[e-mail], [e-mail], [e-mail] 

AZƏRBAYCAN 

 

Рассмотрим нечеткий линейный функционал. Под нечетким функционалом  мы понимаем отображение из 

F

 

на 

R

 или из 

F

F



на 

R

. Простым примером  такому функционалу служит линейный функционал 

x

c

J





, 

где 

c

 заданное нечеткое число. Если 



-уровень нечеткого числа c  имеет вид 

)]

(

),

(

[







c

c

R

L

c



, 

]

1

,

0

[





, 

то используя, функционал 

)

(x

J

 можно написать в виде 











d

R

R

L

L

x

c

x

J

x

c

x

c









1

0

)]

(

)

(

)

(

)

(

[

2

1

)

(



. 

В четком случае, при 

2

,

1



 x

c

 

2

]

2

1

2

1

[

2

1

)

2

(

1

0















d

J

. 

Если 

c

 нечеткая единица, например  

]

2

,

[











c

, 

]

1

,

0

[





, 

то  

---

II INTERNATIONAL SCIENTIFIC CONFERENCE OF YOUNG RESEARCHERS 

561 

 Qafqaz University                         

          18-19 April 2014, Baku, Azerbaijan 











d

R

L

x

c

x

J

x

x











1

0

)]

(

)

2

(

)

(

[

2

1

)

(



. 

Взяв 

0

x

x



 как нечеткое число 2, т.е. например, 

]

3

,

1

[













c

, 

]

1

,

0

[





, 

имеем 





.

3

7

3

3

6

4

2

2

1

)]

3

)(

2

(

)

1

(

[

2

1

)

(

1

0

2

3

1

0

2

1

0









































a

a

a

da

a

a

d

x

J











 

В этом случае 

3

1

)

2

(

)

2

~

(



 J

J

. 

Здесь 

2

~

0



x

 является нечетким числом 2. 

Аналогично, можно рассматривать линейный функционал в векторном случае 

n

n

x

c

x

c

x

c

J















...

2

2

1

1

,       

где 

n

c

c

c

,...,

,

2

1

 заданные нечеткие числа. 

Теперь рассмотрим задачу нечеткого линейного программирования,  который в дальнейшем нам понадобится. 

Сначала изучим решение задачи нечеткого линейного программирования. Отметим, что многие прикладные задачи, 

особенно  задачи  экономики,  приводятся  к  задачам  линейного  программирования.  К  таким  задачам  относится 

задача  оптимальном  планирования  производства,  транспортная  задача,  задача  об  оптимальной  использовании 

посевной  площади  и  т.д.  Для  того,  чтобы  понимать  суть  дела,  отметим  задачу  оптимального  планирования 

производства. 

Пусть  предприятия  изготавливают 

n

 видов  продукции  из 

m

видов  сырья.  На  изготовление  одной  единицы 

продукции 

j

 -го  вида  нужно 

ij

a

единиц  сырья 

i

-го  вида.  Ресурсы 

i

-го  сырья  ограничены  и  равны 

b

.  Пусть 

предприятия  при  продаже 

j

 -го  вида  продукции  получают 

j

c

единиц  прибыли.  Требуется  определить,  сколько 

единиц 

n

x

x

x

,...,

,

2

1

 каждого  вида  продукции  должно  изготовить  предприятие,  чтобы  обеспечить  себе 

максимальную прибыль. В это задача сформулирована как задача линейного программирования  

min

...

)

(

2

2

1

1











n

n

x

c

x

c

x

c

x

F

,                          

,

...

,

...

2

2

22

1

21

1

1

2

12

1

11

n

n

n

n

n

b

x

a

x

a

x

a

b

x

a

x

a

x

a

















  

(1) 

.

...

....

..........

..........

..........

..........

2

2

1

1

m

n

mn

m

m

b

x

a

x

a

x

a









 

Ясно, что все величины 

n

x

x

x

...

,

,

2

1

 неотрицательны. 

Отметим,  что  эта  задача  линейного  программирования  представляет  лишь  упрощенную  математическую 

модель  реальных  задач.  В  действительности  параметры,  входящие  в  эту  задачу  являются  нечеткими.  Например, 

прибыли каждого вида продукции являются нечеткие и значит, объем продукции также является нечетким. В связи 

с  этим  и  объем  производства  станет  нечетким.  В  этом  случае  вместо 

i

i

x

c

 можно  рассматривать  усредненное 

значение 











d

R

R

L

L

x

c

i

i

i

i

x

c

x

c

i

i







1

0

)]

(

)

(

)

(

)

(

[

2

1



. 

Тогда минимизируемый функционал получает вид 

min

)]

(

)

(

)

(

)

(

[

2

1

)

(

1

0

1





















d

R

R

L

L

x

J

n

i

x

c

x

c

i

i

i

i

. (2) 

---

II INTERNATIONAL SCIENTIFIC CONFERENCE OF YOUNG RESEARCHERS 

562 

 Qafqaz University                         

          18-19 April 2014, Baku, Azerbaijan 

с ограничениями 

,

)]

(

)

(

)

(

)

(

[

2

1

1

1

1

0

1

1

b

d

R

R

L

L

n

i

x

a

x

a

i

i

i

i



















 

.

)]

(

)

(

)

(

)

(

[

2

1

...

..........

..........

..........

..........

..........

..........

,

)]

(

)

(

)

(

)

(

[

2

1

1

1

0

2

1

1

0

2

2

m

n

i

x

a

x

a

n

i

x

a

x

a

b

d

R

R

L

L

b

d

R

R

L

L

i

mi

i

mi

i

i

i

i





































 (3) 

Учитывая, что объем производства неотрицателен, к (2), (3) еще надо добавить условия 

]

1

,

0

[

),

(

)

(

0













i

i

x

x

R

L

.                                              

Отметим, еще что мы должны учитывать монотонность 

)

(

),

(





R

L

 для разных величина 

n

x

x

x

...

,

,

2

1

, т.е. надо 

учитывать, что 

)

(



L

 возрастает а

)

(



R

убывает на 

]

1

,

0

[

. 

Таким образом, в реальности приведенное выше задача оптимального планирования производства приводится 

к нечеткой задаче. Здесь минимизируемый функционал и ограничения являются интегралами или интегральными 

выражениями.  

Обозначая  

)

...,

,

,

(

2

1

n

c

c

c

c



, 

)

...,

,

,

(

2

1

jn

j

j

j

a

a

a

a



,         

)

...

,

,

(

2

1

n

x

x

x

x



,  

и используя, эту задачу можно написать в виде 

min

)

(



 x

c

x

J



, 

1

1

b

x

a





, 

2

2

b

x

a





, 

                                    …………. 

m

m

b

x

a





.  

Это задача является линейным в пространстве 

2

FL

. Приведем задачу (3) к «обычному» линейному програм-

мированию. Для этого разобъем отрезок [0,1] на N частей с шагом 

N

h

1



. Примем обозначения  

N

k

kh

k

...,

2

,

1

,







. Тогда используя формулу  









1

0

1

)

(

N

k

k

f

h

d

f





,                                                                                     (4) 

где 

)

(

k

k

f

f





, каждый интеграл в (3) можно дискретизировать. В этом случае получим 

min

]

)

(

)

(

)

(

)

(

[

1

1











N

k

n

i

x

c

x

c

k

R

k

R

k

L

k

L

i

i

i

i

,  

(5)  

,

)]

(

)

(

)

(

)

(

[

1

1

1

1

1

b

k

R

k

R

k

L

k

L

N

k

n

i

x

a

x

a

i

i

i

i











 

2

1

1

)]

(

)

(

)

(

)

(

[

2

2

b

k

R

k

R

k

L

k

L

N

k

n

i

x

a

x

a

i

i

i

i











 (6) 

.

)

(

)

(

)

(

)

(

[

...

..........

..........

..........

..........

..........

..........

1

1

m

N

k

n

i

x

a

x

a

b

k

R

k

R

k

L

k

L

i

mi

i

mi





 





   

N

k

k

R

k

L

i

i

x

x

,

1

),

(

)

(

0







.                                

(7) 

Здесь  

---