Mövzu 1: Ekonometrika fənninin predmeti, obyekti və həll edəcəyi məsələlər
Yüklə 0,55 Mb. Pdf görüntüsü
|
|
Mövzu - 1: Ekonometrika fənninin predmeti, obyekti və həll edəcəyi məsələlər “Ekanometrika” sözü 2 hissədən ibarətdir: ”ekono” və “metrika” hansı ki, iqtisadi ölçmələri göstərir. Bu termin 1930 – cu ildə Norveç alimi, statistiki Riqnar Frişer tərəfindən meydana gəlmişdir. Hansı ki, Ekonometrikanın əsas məsələsini iqtisadi nəzəriyyənin inkişafı, onun statistika və riyaziyyatla əlaqəsini təşkil edir. Müasir dövrdə ekonometrikanın aşağıdakı şəkildə tərifi ümumi qəbul edilmişdir. Ekonometrika real təsərrüfat iqtisadi proseslərin nəzəi modelini tərtib etmək üçün riyazi statistikanın metodlarından istifadə edən bir elmdir. Ekonometrikanın obyekti cəmiyyətin iqtisadi sistemində baş verən iqtisadi proseslərdir. Ekonometrikanın predmeti təsadüfi hadisələr əsasındakı qarşılıqlı əlaqəni kifayət qədər qiymətləndirməkdir. Eyni zamanda iqtisadi sistemlər haqqında məlumat almaq üçün təsadüfi əlamətlər, göstəricilər, faktorlar, dəyişən iqtisadi obyektlər, real iqtisadi modellərin nəzəri yoxlanmasını təmin edir. Ekonometrikanın məqsədi təsadüfi proseslərin reallaşmasında iqtisadi sistemin obyektlər toplusunun nöqtəvi və interval məlumatların qiymətləndirilməsidir. Ekonometrikanın məsələləri: 1. Strateji məsələlər a) Iqtisadi modellərdən effektiv istifadə üçün şəraitin yaradılması b) Məlumatın dəqiqliyini artıran iqtisadi metodların təşkili (yaradılması) c) Ən kiçik kvadratlar metodunun tətbiqində pozuntuların orta əmsallarının hesablanması modelinin metodunun düzəldilməsi d) Ekonometrikanın effektiv istifadə oblastının təyini 2. Taktiki məsələlər a) Iqtisadi obyeklərin xassələrini nəzərə almaqla riyazi modelin qurulması b) Iqtisadi proseslərin riyazi modelinin əmsallarının təyini c) Iqtisadi proseslərin nöqtəvi və interval məlumatlarının alınması d) Alınan modelin keyfiyyətinin qiymətləndirilməsinin hesabı Ekonometrikanın metodlarını aşağıdakı əlamətlərə görə siniflərə ayırmaq olar: 1) Regressiyanın əmsalının təyini metodu ilə; · Ən kiçik kvadratlar metodu ilə · Ən kiçik kvadratların iki addımlıq yolu ilə · Ən kiçik kvadratların ümumiləşmiş metodu (Eytken metodu) ilə · Maksimal düzgün oxşarlılıq metodu ilə · Ən kiçik yayınma və məsafə metodu ilə 2) İqtisadi obyektin fəaliyyət modelinin qurulması metodu: · Yuxarıdan aşağı və aşağıdan yuxarı modelinin qurulması 3) Baş toplunun verilənlərinin seçim metodu · Bütün baş toplunun analizi · Baş toplunun analizinin seçim metodu downloaded from KitabYurdu.org 4) Seçim verilənlərin analizi metodu · Korrelsiya analizi metodu · Reqressiv analiz metodu · Araşdırılan, asılı dəyişənlərin və qalıqların iştirakı metodu · Saxta, instrumental dəyişənlərin iştirakı ilə metod · Qeyri – xətti reqressiyanın xəttiləşdirilməsi metodu · Multikollinar faktorların aradan qaldırılması metodu; qalıqların avtokorrelyasiyası; · Daimi olmayan sıraların təyini metodu · Eynivaxtlı (sıralarla) tənliklər sisteminin analizi metodu · Keyfiyyətli dəyişənlər arasındakı əlaqə metodu Bu metodlarla biz sonralar tanış olacayıq. Ekonometrikanın sturukturuna baxaq. Şərti olaraq ekonometrika kursunu 3 hissəyə ayırmaq olar: 1) Fəzada verilənlər ilə cüt (qoşa) və cəm (çoxluq) modellərin qurulması. Bu hissə riyazi statistikada öyrənilir. 2) Ən kiçik kvadratlar metodunun xətalarının aradan qaldırılması üsulu. 3) Müvəqqəti (daimi olmayan) iqtisadi sıraların analizi Ekonometrika biometriya, sosiometriya, informatika ilə sıx əlaqədardır. Riyazi statistikadan istifadə bioloji və sosioloji araşdırmalarda yeni elmlər – biometriya və sosiometriyanı yaradır. Bu elmlərin hər biri çoxlu sayda ümumi metoda malikdirlər. Tez – tez bu elmlər yəni yanaşmalarla bir – birini zənginləşdirirlər. Tarixən biometriya ekonometrikadan qabaq yaranmışdır. Buna görə də ekonometrika özündə biometrik metodları birləşdirir və yeni fəsilləri əlavə edir, necə ki spentiral analizi, daimi olmayan (müvəqqəti) sıraların analizi və eynivaxtlı tənliklər sisteminin həllini, məsələn, əkinə optimal şəraitin yaradılmasının modelləşdirilməsində ümumi çoxlu şeylər var. Mikro və makro iqtisadiyyatda ekonometrik analiz 1960 – cı ildən başlayaraq istifadə olunur. Uzun müddət ekonometrik metodlar “Ekonomik – riyazi” metod və modellər fənninin daxilində idi. Yaxın vaxtlardan bu ayrılaraq ayrıca bir fənn kimi iqtisadiyyat ixtisaslarında tədris olunur. İlk ekonometrik modellər kompleks şəkildə ABŞ – da Qoldbergerin olmuşdur. Iqtisadiyyatın inkişafında o fundument (təməl) rolunu oynamışdır. Bu model 15 reqressiv təhlükədən və 5 eynilikdən ibarət olmuşdur. Bu 40 makroiqtisadi göstəricini əhatə edir. Modeli parametri daimi olmayan sıraların bazası əsasında 20 ilə qiymətləndirilmişdir. Ukraynada ilk dəfə olaraq 1972 – ci ildə Yemelyanov və Kuşnirski tərəfindən YKP-2 iqtisadi metrik modeli yaradılmışdır. Bu model planlaşdırma metodikası ilə bağlıdır və 101 reqressiv tənlik və 7 qarşılıqlı əlaqəli blokları özündə birləşdirir. Müasir dövrdə Ukraynada ekonometrik araşdırmalara maraq çoxdur. Hətta iqtisadi proqramlaşdırma institutu mərkəz rolunu oynayır. downloaded from KitabYurdu.org Mövzu- 2: Riyazi proqramlaşdırma riyazi iqtisadiyyatın tərkib hissəsi kimi Riyazi üsullar və modellər iqtisadi nəzəriyyədə daxil olmaqla istənilən iqtisad elminin üsulları və vasitələri məcmusunun tərkib hissəsi kimi çıxış edir. Əsaslı iqtisadi təhlil ilə birlikdə riyai üsullar və modellərdən istifadə olunması iqtisad elmi və praktika üçün yeni imkanlar yaradır. Onlardan iqtisadiyyatda istifadə olunması əvvəla iqtisadi kəmiyyətlər və obyektlər arasında daha vacib, nəzərə çarpacaq əlaqələri aşkar edib onları ifadə etməyə imkan verir. Bu müvafiq mürəkkəb problemlərin yüksək dərəcədə mücərrəd olması ilə əlaqədardır. İkincisi, nəzərdə tutulmuş şərtlər daxilində dəqiq ifadə olunmuş zəruri ilkin məlumatlar və münasibətlərdən deduksiya üsulları ilə tədqiq edilən obyektə uyğun nəticələri almaq mümkündür. Üçüncüsü, riyazi və modellər induksiya üsulu ilə obyekt haqqında yeni biliklər əldə etməyə imkan verir, onun fəaliyyəti prosesində aparılmış müşahidələrə daha yüksək dərəcədə uyğun olmaqla, mövcud amillər arasındakı asılılıq formalarını təyin etmək və müəyyənedici parametrləri qiymətləndirmə vasitəsi kimi çıxış edirlər. Nəhayət, dördüncüsü riyazi üsullar və modellərdən istifadə olunması iqtisadi nəzəriyyənin müddəalarını, anlayışlarını və nəticələrini daha dəqiq və yığcam şəkildə ifadə etmək əsas verir. Riyazi proqramlaşdırma tətbiqi riyaziyyat elminin əsas bölmələrindən biri olmaqla, onun öyrənmə obyektini mürəkkəb sistem və proseslərin optimal planlaşdırılması və idarə edilməsi üzrə ekstremum məsələlər təşkil edir. Fənnin predmeti olaraq ekstremum məsələlərin tədqiqi, burada istifadə edilən kəmiyyətlər arasında riyazi asılılıqların müəyyən olunması, müvafiq modellərin qurulması, onların əsasında məsələ həlli üçün ən əlverişli üsul və prinsiplərin təyini çıxış edir. Riyazi proqramlaşdırılmanın öyrənilməsində məqsəd isə ekstremum məsələlərinin həlli üçün riyazi üsulları və EHM – in imkanlarının ardıcıl tətbiq etməkdən, alınmış nəticələrin hərtərəfli təhlilini aparmaqdan, optimal qərarların işlənməsi və qəbul edilməsindən, onların praktiki tətbiqinin səmərəliliyinin əsaslandırmasından ibarətdir. Tərif: Riyazi proqramlaşdırmanın ümumi məsələsi müəyyən şərtlər daxilində hər hansı funksiyanın ekstremum, yəni maksimum (“max”) və yaxud minimum (“min”) qiymətinin təyini məsələsinə deyilir və riyazi şəkildə aşağıdakı kimi ifadə edilir. ; (1) məhdudiyyət şərtləri (i=i,k) (2) (i=k+im) (3) məchulların işarələri üzrə şərtlər (4) downloaded from KitabYurdu.org Yazılışdan göründüyü kimi ekstremum məsələlənin riyazi şəkildə qoyuluşu, üç əsas hissədən ibarətdir: I. (1) məqsəd funksiyası yaxud optimallıq meyarı adlanır və onun üçün ekstremum qiymət axtarılır. II. Məhdudiyyət şərtləri (2) bərabərlikləri yaxud tənlikləri və (3) bərabərsizliklən ibarətdir. III. Məsələyə daxil olan məhculların işarələri üzərinə qoyulmuş (4) şərtləri. Tərif 2. (1) – (4) şərtlərini ödəyən vektoruna riyazi proqramlaşdırmanın ümumi məsələsinin mümkün həlli (planı) deyilir. Tərif 3. (1) məqsəd funksiyasına ekstremum qiymət verən mümkün həllə (1) – (4) riyazi proqramlaşdırma məsələsinin optimal həlli deyilir. - Əgər məqsəd funksiyası və bütün məhdudiyyət şərtləri dəyişənlərinin hamısına nəzərən xətti olarsa, onda verilmiş məsələ xətti proqramlaşdırma, əks halda isə qeyri – xətti proqramlaşdırma məsələsi olur. - Qabarıq proqramlaşdırma məsələlərinin həlli nəticəsində məhdud qabarıq çoxluqda təyin edilmiş funksiya üçün minimum, yaxud qabarıq funksiya üçün maksimum qiymət axtarılır. (Bu da qeyri – xətt proqramlaşdırma məsələsidir) - Qabarıq proqramlaşdırma məsələləri içərisində isə öz növbəsində daha ətraflı olmaqla kvadratik proqramlaşdırma məsələləri tətqiq edilmişdir. Burada kvadratik funksiyadan söhbət gedir. - Tamədədli proqramlaşdırma məsələlərində məhcullar yalnız və yalnız tam ədədlərdən ibarət qiymətlər ala bilərlər. - Parametrin proqramlaşdırma məsələsi - Kəsr – xətti proqramlaşdırma məsələsi - Əgər məqsəd funksiyasında, yaxud məhculların mümkün dəyişmə oblastını təyin edən şərtlərdə təsadüfi kəmiyyətlər olarsa onda belə məsələyə stoxastik proqramlaşdırma məsələsi deyilir. - Riyazi proqramlaşdırma məsələsinin qoyuluşunda zaman amilindən asılılıq olarsa, yaxud həlli prosesi çoxmərhələli, çoxaddımlı olarsa, ona dinamik proqramlaşdırma məsələsi deyilir. downloaded from KitabYurdu.org
Mövzu: İqtisadi riyazi modelləşdirmənin metodoloji əsasları Model sözü “ölçü”, obraz”, “üsul” mənalarını verən “modus”, “modulus” latın sözlərindən əmələ gəlmişdir. Modelləşdirmə elmi tətqiqat metodu kimi bilavasitə həll edilməsi bu və ya digər səbəblərə görə mümkün olmayan elmi və texniki məsələləri həll etmək zərurəti ilə əlaqədar olaraq meydana gəlmişdir. Modelləşdirmə obyektiv həqiqətə yaxınlaşma yolu kimi xidmət edir. Əgər nəzəriyyənin yaradılması tətqiqatçı üçün müəyyən mərhələdə xüsusi məqsəd kimi xidmət edirsə, onda model nəzəriyyəni yaratmaq üçün vasitə rolunu oynayır. Model qurmaq, model yaratmaq modelləşdirmə adlanır. Kibernetikanın meydana gəlməsi ilə əlaqədar olaraq modelləşdirmə metodu geniş inkişaf etmiş elm və texnikanın çox mürəkkəb məsələlərini həll etmək üçün güclü vasitəyə çevrilmişdir. Modelləşdirmənin bir növü də riyazi modelləşdirmədir. “Riyazi modelləş - dirmə tənliklərinin formasının və orjinal modelin tənliklərində dəyişənlər arasında münasibətin identikliyinə əsaslanan xüsusi modellərin köməyi ilə fiziki hadisələri tətqiq etmək üçün metoddur.” Riyazi modelləşdirmədə hadisələrin riyazi məzmununun oxşarlığından söhbət gedir. Doğurdan da həyatda elə müxtəlif hadisələr var ki, onların “riyazi məzmunu” eynidir, başqa sözlə onlar eyni tənliklərlə təsvir edilir. Hadisələrin riyazi məzmunun oxşarlığından istifadə edərək bir sıra modelləşdirici qurğular yarılmışdır. Hazırda elmi tətqiqatlarda müxtəlif növ modellərdən elektrik, hidravlik, mexaniki və s. istifadə edilir. Konkret prosesin və ya hadisənin ən mühüm xüsusiyyətlərini riyazi model xarakterizə edir. Hər bir model tətqiq olunan obyektin öyrənilməsi və məsələnin həlli üçün əhəmiyyətli olan elementləri xarakterizə edən tənliklər (bərabərsizliklər) sistemi şəklində təsvir olunur. Geniş mənada riyazi model dedikdə, müəyyən sistemin fəaliyyətindəki mühüm qarşılıqlı əlaqələrin və qanunauyğunluqların riyazi şəkildə ifadə olunması başa düşülür. Qeyd etmək lazımdır ki, obyektin riyazi modelləri öz aralarında ölçüsünə, istifadə olunan riyazi aparatın mürəkkəbliyinə, xarakterinə və s. görə fərqlənə bilər. Təhlil və optimal plan qərarlarının qəbulu modelləri iki hissədən ibarətdir. Məqsəd funksiyası (optimallıq kriteriyası) və məhdudluq şərtləri. Məqsəd funksiyası planın effektivliyinin kəmiyyət ölçüsüdür. Optimallıq kriteriyasının seçilməsi çox çətindir. Lakin istər qərarın qiymətləndirilməsi, istərsə də hər hansı qərarın həqiqətən daha yaxşı olması seçilmiş və müəyyən şəkildə ifadə olunmuş kriteridən asılıdır. downloaded from KitabYurdu.org Modelin ikinci hissəsi (məhdudluq şərtləri) qərarın qəbul olunduğu şəraitin riyazi ifadəsindən ibarətdir. Bu şərtləri təmin edən qərarlardan biri mümkün plan hesab edilir. Məqsəd funksiyasının ekstremum (maksimum və ya minimum) qiymətini təmin edən mümkün plan optimal plan adlanır. Model qurulduqdan sonra onun riyazi təhlili başlanır ki, bunun da əsas məqsədi optimal həllin tapılmasıdır. Prosesi riyazi məsələ şəklində əks etdirmək və onun modelini qurmaq üçün qoyulan məsəlinin mahiyyətini dərindən bilmək lazımdır. Riyazi modelin keyfiyyəti mövcud prosesi nə dərəcədə tam və düzgün təsvir etməsindən asılıdır. Odur ki, modelləşdirmə yalnız sistemin təhlilindən sonra başlanmalıdır. Bu zaman modellər aşağıdakı tələbləri ödəməlidir: 1. Model nəzəriyyə əsasında qurulmalı, öyrəniləcək prosesin obyektiv qanunauyğunluqlarını və tarixi xüsusiyyətləri özündə cəmləşdirməlidir. 2. Model real sistemin quruluşunu düzgün əks etdirməlidir. Hər bir dəyişəni və sabit kəmiyyəti müəyyən məna daşımalıdır. 3. Modelə yalnız ölçülə bilən kəmiyyətlər daxil edilməlidir. 4. Modeli təşkil tənliklər (bərabərsizliklər) sistemi müəyyən riyazi tələblərə cavab verməlidir. 5. Model onun tətbiqi hədlərini müəyyən edən şərtlərə müvafiq gəlməlidir. 6. Model müvafiq formaya malik olmalıdır. Riyazi modellər qurularkən onların sinfi, mürəkkəblik dərəcəsi və quruluş xüsusiyyətləri müəyyənləşdirilməlidir. Modelin sinfi həll olunacaq məsələnin məqsədi və qoyuluşunun xüsusiyyətləri ilə müəyyən edilir. Modelin mürəkkəbliyi nəzərə alınacaq amillərin sayından və onlar arasındakı qarşılıqlı əlaqələrin xarakterindən, ilkin informasiyanın miqdarından, dəqiqliyindən habelə alınacaq nəticələrin düzgünlüyü dərəcəsindən asılıdır. Tənliklərin və məhculların sayı, onların dərəcəsi və s. onların quruluş xüsusiyyətlərinə aiddir. Riyazi modelləşdirmə aşağıdakı ardıcıl mərhələlərdən ibarətdir: · Problemin qoyuluşu və onun keyfiyyət təhlili; · Riyazi modelin qurulması; · Modelin riyazi təhlili; · Həll metodunun və alqoritminin seçilməsi; · Ilkin informasiyanın hazırlanması; · Məsələnin EHM – də həlli; · Alınmış nəticələrin təhlili və təbliği. Modelləşdiriləcək obyektin və ya prosesin məqsədlərindən, xüsusiyyətlərindən və həmçinin informasiya təminatından asılı olaraq müxtəlif növ modellərdən – xətti modellər, qeyri – xətti modellər, dinamik modellər, diskret modellər. downloaded from KitabYurdu.org
Proseslərin riyazi oxşarlığı üçün onları təsvir edən tənliklərin eyni tipli olması vacibdir. Bu şərt vacib olsa da, lakin kafi deyildir, çünki həmin tənliklərin çoxlu sayda həlli ola bilər. Adətən, tənliklərdən əlavə bəzi şərtlər də verilir ki, bunlar mümkün hallar içərisindən lazım olanını seçməyə imkan verir. Belə şərtlərə çox vaxt yeganəlik şərtləri deyilir. Tənliklərin tam oxşarlığını yaratmaq üçün yeganəlik şərtlərinə daxil olan parametrləri seçmək lazım gəlir. Həmin parametrlər modeli xarakterizə edir. Deməli, obyekti və onun modelini təsvir edən tənliklər və yeganəlik şərtlərinin oxşarlığından istifadə edərək modellərin parametrləri seçmək mümkündür. Modellərin parametrlərini seçmək üçün əsasən iki metod daha geniş tətbiq olunur. Bunlardan biri obyekti və onun modelini xarakterizə edən tənliklərin, digəri isə prosesdə iştirak edən parametrlərin ölçü vahidlərinin təhlilinə əsaslanır. Tənliklərin təhlili metodu. Bu metoddan istifadə etmək üçün prosesin və onun modelinin tənlikləri qabaqcadan məlum olmalıdır. Qeyd edək ki, prosesləri xarakterizə edən müvafiq kəmiyyətlərin nisbəti sabit olarsa, belə proseslərə oxşar proseslər deyilir. Oxşar proseslərin, yaxud obyekt və modelin bütün nöqtələri üçün qiyməti eyni olan sabitlər vardır ki, həmin sabitlərə oxşarlıq sabitləri deyilir. downloaded from KitabYurdu.org Mövzu 4:İqtisadi – riyazi modelləşdirmənin mərhələləri və onların qarşılıqlı əlaqəsi İqtisadi – riyazi modellər üçün obyekt olaraq iqtisadi sistemlər, obyektlər və proseslər çıxış edirlər. Məsələn, əhalinin həyat səviyyəsinin proqnozlaşdırılması, müəsisədə xammal, material, əmək və maliyyə ehtiyatlarından istifadə, müxtəlif növ avadanlıqlar arasında məmulatların istehsal planlarının bölüşdürülməsi, istehsalçılardan yüklərin istehlakçılara daşınması və s. bu kimi problemləri bu obyektlərə aid etmək olar. Bu zaman obyekt – orijinalları əvəz etmək üçün dil olaraq klassik və xüsusi işlənmiş riyazi münasibətlər çıxış edirlər ki, onlarda müəyyən funksiya, bərabərlik və bərabərsizlik şəklində verilmiş şərtlər, həmçinin onların formalaşdırılması prinsiplərindən ibarətdir. Tərif 1:Sosial – iqtisadi obyekt yaxud prosesin riyazi yazılışına iqtisadi – riyazi model deyilir. Beləliklə, iqtisadi – riyazi model sosial – iqtisadi obyekt yaxud prosesin mahiyyəti və keyfiyyət qanunauyğunluqlarını riyazi münasibətlərin köməyi ilə abstrakt şəkildə ifadə edir. Iqtisadiyyatda riyaziyyat elminin tətbiqi daha dərin və keyfiyyətli iqtisadi – riyazi təhlil aparmağa imkan verir, iqtisadi informasiya sahəsini genişləndirir və zəruri iqtidadi hesablamaların yerinə yetirilməsi prosesini intensivləşdirir. Burada qoyulmuş məsələnin həlli üçün müvafiq iqtisadi – riyazi modelin qurulması prosesi mühüm əhəmiyyət kəsb edir. O, aşağıdakı mərhələlərdən ibarətdir: I. Modeldə qiymətləri tapılacaq zəruri kəmiyyətlərin təyin edilməsi, yəni verilmiş iqtisadi məsələnin məchullarının müəyyənləşdirilməsi. II.
Məsələ həllində əsas məqsədin iqtisadi mahiyyətinin müəyyən olunması, onun üçün ekstremum, yəni maksimum (“max”) və ya minimum (“min”) qiymətinin axtarılması məqsədi ilə müvafiq funksiya (optimallıq meyarı) şəklində ifadə edilməsi. III. Verilmiş məsələnin iqtisadi qoyuluşunun xarakterindən asılı olaraq, onun bərabərlik və bərabərsizliklər şəklində məhdudiyyət şərtlərinin formalaşması. IV.
Məchulların mənfi olmaması əsaslandırılması V. Məsələnin iqtisadi – riyazi modelinin yazılışı Iqtisadi – riyazi modelləşdirilmənin bütün mərhələləri ardıcıllığını və onların mahiyyətini daha ətraflı təhlil etmək məqsədəuyğundur. Bu münasibətlə iqtisadi – riyazi modelləşdirilmənin bir dövrünün ibarət olduğu alt mərhələni ayırmaq downloaded from KitabYurdu.org lazımdır: iqtisadi problemin qoyuluşu və onun keyfiyyət təhlili; iqtisadi – riyazi modelin qurulması; modelin riyazi təhlili; ilkin məmulatın hazırlanması; ədədi həll nəticələrinin iqtisadi – riyazi təhlili və onların tətbiqi. Mərhələlərdən hər birinə nəzər yetirək. 1. Iqtisadi problemin qoyuluşu və onun keyfiyyət təhlili mərhələsində verilmiş iqtisadi problemin mahiyyətini qəbul edilən ilkin şərtləri və fərziyyələri formalaşdırmaq lazımdır. Burada modelləşdirilən obyekt – orijinalın əsas xüsusiyyətlərini və xassələrini ayırmaq, onun quruluşunu və tərkib elementlərinin qarşılıqlı əlaqələrini öyrənmək mühüm əhəmiyyət kəsb edir, tədqiq olunan obyektin davranışını və inkişafını izah edən hipotezaların əvvəlcədən formalaşdırılması tələb edilir. 2. Iqtisadi – riyazi modelin qurulmasında verilmiş iqtisadi problem dəqiq riyazi asılılıqlar və münasibətlər (funksiyalar, tənliklər, bərabərsizliklər və s.) şəklində ifadə edilir. Iqtisadi – riyazi modellərin mühüm xüsusiyyətlərindən biri də onların müxtəlif xarakterli problemlərin həlli üçün potensial imkana malik olmasıdır. Elə hallar ola bilər ki, problemin formalaşdırılması zamanı əvvəllər məlum olmayan riyazi qoyuluş alınsın. 3. Modelin riyazi təhlilində riyazi tədqiqat üsulları ilə modelin və onun əsasında məsələ həlli nəticələrinin ümumi xassələri aşkar edilir. Xüsusilə, formalaşdırılmış məsələnin həllinin mövcud olmasının isbat edilməsi vacib əhəmiyyətə malikdir. Anaitik təhlil aparmaqla məsələnin həllinin yeganə olub – olmadığı, hər hansı məchulların daxil olduğu, onların dəyişmə intervalları və ənənələri və s. aydınlaşdırılır. 4. Ilkin məlumatların hazırlanması mərhələsi olduqca mühüm və əməktutumludur. Belə ki, məqsəd yalnız passiv olmaqla məlumatları yığmaqdan ibarət olmayıb, həm elmi, həm də praktiki nöqteyi - nəzərdən əsaslandırılmış zəruri məlumatları hazırlamaqdan ibarətdir. Ümumiyyətlə, informasi sistemi üzərinə modelləşdirmə çox ciddi tələblər qoyur. Həmçinin qeyd edək ki, sistemli iqtisadi – riyazi modelləşdirmədə bəzi modellər üzrə həll nəticələri adətən digər modellər üçün ilkin məlumatlar kimi istifadə olunur. 5. Ədədi həll mərhələsində məsələnin ədədi həlli üçün alqoritmlərin seçilməsi və işlənməsi, EHM – də müvafiq proqramların tərtib olunması və bilavasitə zəruri hesablamaların aparılmasını özünə daxil edir. Verilmiş mərhələnin çətinlikləri hər şeydən əvvəl iqtisadi məsələlərin böyük ölçüyə malik olması və çox sayda məlumatlar massivin işlənməsi zərurəti ilə şərtləşdirilir. downloaded from KitabYurdu.org
6. Həll nəticələrinin iqtisadi – riyazi təhlili və onların tətbiqi mərhələsində modelləşdirmə nəticələrinin düzgünlüyü və tamlığı, obyektin həm praktiki fəaliyyəti, həm də onun modelinin təkmilləşdirilməsi məqsədi ilə onlardan istifadə imkanları haqqında mühüm məsələ həll edilir. Iqtisadi – riyazi modelləşdirmə mərhələlərinin qarşılıqlı əlaqəsi. downloaded from KitabYurdu.org
Mövzu 5: Xətti cəbrin elementləri Tərif: n sayda x 1 ,x
,....,x n həqiqi ədədlərin nizamlı düzülüşünə n ölçülü vektor deyilir və x = (x 1 ,x 2 ,....,x
n ) kimi göstərilir. Burada x 1 ,x
,....,x n vektorun kompanentləri və ya koordinatları adlanır. Vektorun kompanentlərinin sayı onun ölçüsünü müəyyən edir. Bütün koordinatları 0 olan vektor sıfır vektor adlanır. Misallara baxaq: X=(30,50) – iki ölçülü vektor X=(40,20,0,-5,60) – beş ölçülü vektor X=(0,0,....,0) – sıfır vektor Bütün n ölçülü vektorlar { }
- n ölçülü vektorlar fəzasını əmələ gətirir. Tutaq ki, n ölçülü vektorlar fəzasında X və Y vektorları verilmişdir. Iki vektorun cəmi (fərqi) dedikdə elə bir üçüncü vektor başa düşülür ki, bu vektorun hər bir kompanenti həmin vektorun uyğun kompanentlərinin cəmi (fərqi kimi hesablansın. Yəni = (x , x , … , x ) və = ( , , … , ) = ± = ( ± ; ± ;
± ) Məsələn, əgər = (6; 4; 7) = (8; 3; 0) olarsa, bu vektorlar üçün alarıq. + = (6 + 8, 4 + 3,7 + 0) = (14, 7, 7) − = (6 − 8, 4 − 3,7 − 0) = (−2,1,7) Iki vektorun skalyar hasili dedikdə isə bu vektorların uyğun kompanentlərinin hasilinin cəbri cəmi kimi hesablanan sonlu ədəd başa düşülür. = ∙ = +
Məsələn, yuxarıda X və Y vektorları üçün alırıq; = ∙ = 6 ∙ 8 + 4 ∙ 3 + 7 ∙ 0 = 48 + 12 = 60 Fərz edək ki, n ölçülü vektorlar fəzasında x 1 ,x 2 və y vektorları verilmişdir. Əgər, =
+ = 1
≥ 0, ≥ 0
Şərtləri ödəyən β 1 və β 2 həqiqi ədədlər mövcuddursa onda Y vektoruna x 1 və
2 vektorlarının qabarıq xətti kombinasiyası deyilir. Tərif: Çoxluq üzərində götürülmüş istənilən iki nöqtənin qabarıq xətti kombinasiyası tamamilə həmin çoxluğa daxildirsə onda belə çoxluq qabarıq çoxluqdur. Iki nöqtənin qabarıq xətti kombinasiyası həndəsi olaraq həmin nöqtələri birləşdirən düz xətt parçasını verir. Odur ki, qabarıq çoxluqlara aşağıdakı kimi də tərif vermək olar. downloaded from KitabYurdu.org
Tərif: Çoxluq üzərində götürülmüş ixtiyari iki nöqtəni birləşdirən düz xətt parçası tamamilə həmin çoxluq üzərindədirsə, onda belə çoxluq qabarıq çoxluqdur. Teorem: İki və daha artıq qabarıq çoxluğun kəsişməsi həmişə qabarıq çoxluq verir.
Əgər qabarıq çoxluğun hər hansı bir nöqtəsi onun digər nöqtələrinin qabarıq xətti kombinasiyası kimi göstərmək mümkün deyilsə, onda belə nöqtəyə qabarıq çoxluğun təpə nöqtəsi deyilir. Indi isə Jordan əvəzetmələrini nəzərdən keçirək. Tutaq ki, aşağıdakı xətti tənliklər sistemi verilmişdir: ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ = + + ⋯ + + ⋯ + = + + ⋯ + + ⋯ +
− − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − = + + ⋯ + + ⋯ +
− − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − = + + ⋯ + + ⋯ +
(1) Bunu cədvəl formasında göstərək (2) Tutaq ki, müəyyən məqsədlər üçün (2) cədvəli ilə verilmiş xətti tənliklər sistemində asılı dəyişənlərdən birinin sərbəst dəyişənlərdən biri ilə əvəz etmək lazımdır. Fərz edək ki, y 2 asılı dəyişən x s sərbəst dəyişənlə əvəz edilir. Onda r – ci sətir əsas sətir, s – ci sütunu əsas sütun, onların kəsişməsində yerləşən elementi isə əsas element olacaqdır. (2) cədvəli üzərində uyğun əvəzetmə aparıldıqdan sonra bu sistem aşağıdakı şəklə düşəcəkdir: (3) cədvəldə (2) cədvəldəki sərbəst dəyişən asılı dəyişən olmuş, J 1 asılı dəyişən isə sərbəst dəyişənə çevrilmişdir. ………………
… . . …. … … … = -------- ------------ ---------- ------------ = -------- ------------ ---------- ------------ = ………………
… . . …. … … … = -------- ------------ ---------- ------------ = − 1 − -------- ------------ ---------- ------------ = downloaded from KitabYurdu.org Bu keçid Jordan əvəzetmələrinin bir addımı ilə aparılmışdır. Bu addım 5 mərhələdən ibarətdir. 1. əsas element vahidlə əvəz edilir; 2. əsas sətrin qalan elementləri öz işarələrini dəyişir; 3. əsas sütnun qalan elementləri olduğu kimi qalır; 4. əsas sətirə və əsas sütuna daxil olmayan elementlərin yeni qiymətləri çarpaz vurma qaydası ilə tapılır, yəni burada, əsas elementdir. 5. Yeni cədvəlin bütün elementləri əsas elementə bölünür. Misala baxaq: Əvvəlcə bu sistemin “0” tənliklər sistemi şəklində göstərək. Indi isə cədvəl şəklində təsvir edək. I 0=
1 2 -9 0= -2 1 1 -3 0= 3 -2 1 -2 Adi Jordan əvəzetmələrinin köməyi ilə cədvəlin solunda yerləşmiş 0 – rı ardıcıl olaraq cədvəlin yuxarısına keçirək və hər dəfə yuxarı keçmiş sıfra uyğun gələn sistemi silək. I 0=
1 2 -9 0= -2 1 1 -3 0= 3 -2 1 -2 I = 1 -1 -2 9 0= -2 <3> 5 -21 0= 3 -5 -5 25 I = -1 1 6 = 1 -5 21 0= -1 10 -30 downloaded from KitabYurdu.org Sonuncu cədvəldən tapırıq: I = 2 = 7 0= -10
I = = = 10 I = = = 3 downloaded from KitabYurdu.org Mövzu 6: Xətti proqramlaşdırmanın əsas məsələsinin riyazi təsviri Xətti proqramlaşdırma nəzəriyyəsinin tədqiqat obyekti onun əsas məsələsidir. Bu məsələ aşağıdakı kimi yazılır: Məqsəd funksiyası ( ) = +
(1) Məhdudiyyət şərtləri + + ⋯ +
≤ + + ⋯ + ≤ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ + + ⋯ +
≤ (2)
Dəyişənlərin mənfi olmaması şərtləri ≥ 0;
≥ 0; … ; ≥ 0 (3) Burada ( = , ⃗), ( = , ⃗), ( = , ⃗; = , ⃗) verimiş sabit kəmiyyətlərdir, ( = , ⃗) isə məchul kəmiyyətlərdir. Xətti proqramlaşdırmanın (1) – (3) əsas məsələsi aşağıdakı kimi ifadə olunur. , , … , məchulları üçün mənfi olmayan elə qiymətlər tapmaq lazımdır ki, bu qiymətlər (2) məhdudiyyət sistemini ödəsinlər və (1) məqsəd funksiyasına ən böyük və ya ən kiçik qiymət versinlər. Qeyd 1: (2) sistemində xətti məhdudiyyətlər ≥, ≤, = formasında ola bilər.
Qeyd 2: Bəzi ədəbiyyatlarda (2) sisteminin xətti məhdudiyyətlərinin xarakterindən asılı olaraq (1) – (3) məsələsinə – Xətti proqramlaşdırmanın əsas məsələsi; – Xətti proqramlaşdırmanın ümumi məsələsi; – Xətti proqramlaşdırmanın kanonik məsələsi; – Xətti proqramlaşdırmanın standart məsələsi və s. kimi müxtəlif adlar verilir. Tərif 1:
, , … , məchulların mənfi olmayan və (2) sistemini ödəyən qiymətlərinə xətti proqramlaşdırmanın əsas məsələsinin həlli və ya planı (mümkün həlli və ya mümkün planı) deyilir. Tərif 2: , , … , məchulların mənfi olmayan (2) sistemini ödəyən və (1) məqsəd funksiyasına ən böyük və ya ən kiçik qiymət verən downloaded from KitabYurdu.org
kəmiyyət xətti proqramlaşdırmanın əsas məsələsini optimal həlli və ya optimal planı deyilir. Beləliklə, xətti proqramlaşdırmanın əsas məsələsinni həll edilməsi dedikdə bütün hallarda onun optimal planın tapılması başa düşülür. Xətti proqramlaşdırmanın (1) – (3) əsas məsələsinin aşağıdakı yazılış formaları vardır. 1. Vektor yazılış forması 2. Matris yazılış forması 3. Məsələnin cən işarəsinin köməyi ilə yazılışı Vektor formasında (1) – (3) məsələsi aşağıdakı kimi yazılır. = → max(
) + + ⋯ + ≤ ≥ 0
Burada = ( , , … , ) və = ( , , … , ) – n ölçülü vektorlarıdır. PX isə bu vektorların skalyar hasilidir. , , … , , isə şağıdakı sturuktura malik sütun vektorlardır. = … , = … ,..., = … , = … Matris formasında (1) – (3) xətti proqramlaşdırmanın əsas məsələsi aşağıdakı kimi yazılır. = → max(
) ≤ ≥ 0 Burada = ( , , … , ) – sətir matrisi = …
A – (3) sisteminin əsas matrisi olub, aşağıdakı şəkildədir. = … … … … − − − − − − − − … … downloaded from KitabYurdu.org = ⋮ Cəm işarəsinin köməyi ilə (1) – (3) xətti proqramlaşdırma əsas məsələsi aşağıdakı kimi yazılır. ( ) =
→ max( ) ≤ ( = , ⃗) ≥ 0 ( = , ⃗) Indi isə buna aid misalı nəzərdən keçirək. Məsələ 1: Aşağıdakı xətti proqramlaşdırmanı matris və vektor yazılış formasında göstərin. ( ) = 2 + 5 − → 4 + 5 ≤ 30 − 3 + 2 ≤ 50 ≥ 0;
≥ 0; ≥ 0
Həlli: - Matris yazılış forması = (2; 5; −1) ∙ → 4 0 5 1 −3 2 ∙
≤ 30 50 ≥ 0 - Vektor yazılış forması ( ) = (2; 5; −1) ∙ ( ; ; ) → 41 +
0 −3 + 52 ≤ 30 50 ( ; ; ) ≥ 0 downloaded from KitabYurdu.org Məsələ 2: Aşağıdakı xətti proqramlaşdırma məsələsini cəm işarələrinin köməyi ilə yazın. ( ) = +
→ + + ≤ + + ≤ + + ≤ + + ≤ ≥ 0;
≥ 0; ≥ 0
Həlli: ( ) =
→ ≤ = 1; 4⃗ ≥ 0 ( = 1; 3⃗) downloaded from KitabYurdu.org Mövzu 7. Xətti proqramlaşdırma məsələsinin həndəsi mənası və qrafik üsulla həlli Tutaq ki, (1) – (3) məsələsində n = 2 – dir, yəni məsələyə 2 dəyişən daxildir. Onda bu məsələyə aşağıdakı şəkilə düşər. ( ) =
+ → max(
) (1) + ≤ + ≤ − − − − − − − − − + ≤ (2) ≥ 0, ≥ 0 (3)
Tutaq ki, (2) sistemi ziddiyyətli deyil, yəni onun heç olmazsa bir həlli vardır. (2) sisteminin hər bir xəti bərabərsizliyi həndəsi olaraq müstəvi üzərində bir yarımmüstəvi verir və bu yarımmüstəvilər müstəvidən + = ( = 1, )⃗ Sərhəd düz xətləri ilə ayrılır. (2) sistemi ziddiyyətli olmadığından bu müstəvilər müstəvi üzərində ≥ 0, ≥ 0 yarımmüstəviləri ilə kəsişərək məsələnin mümkün həllər oblastını əmələ gətirir. Bu mümkün həllər oblastına məsələnin həllər çoxbucaqlısı da deyilir. Aşağıdakı şəkildə həllər çoxbucaqlısının mümkün variantlarından biri göstərilmişdir. = 3 olduqda bu həllər çoxbucaqlısı 3 ölçülü fəzada həllər çoxüzlüsünə çüvrilir. Bu çoxüzlünün hüdudları isə + + = ( = )⃗ müstəviləri olur. > 3 olduqda isə məsələnin həllər çoxbucaqlısı n ölçülü fəzada alınır və onun hüdudları + + ⋯ +
= ( = )⃗ hiper müstəviləri ilə təyin edilir. downloaded from KitabYurdu.org Beləliklə, XP – nin əsas məsələsinin həndəsi mənası dedikdə məsələnin həllər çoxüzlüsünün elə bir nöqtəsinnin tapılması başa düşülür ki, bu nöqtənin koordinatları məsələnin məqsəd funksiyasına maksimum və ya minimum qiyət versinlər. Bu zaman nəzərə alınmalıdır ki, həllər çoxüzlüsünün hər bir nöqtəsinin koordinatları məsələnin mümkün həlləri hesab edilir. XP – nin əsas məsələsinin həllər çoxüzlüsünün aşağıdakı xassələri vardır. Teorem 1: XP – nin əsas məsələsinin həllər çoxüzlüsü qabarıq çoxluqdur. Teorem 2: XP – nin əsas məsələsinin məqsəd funksiyası özünün ən böyük və ən kiçik qiymətini həllər çoxüzlüsünün təpə nöqtələrinin birində alır. Əgər funksiya özünün ən böyük və ya ən kiçik qiymətini eyni zamanda iki təpə nöqtəsində alarsa, onda funksiyanın bu qiyməti həmin təpə nöqtələrinin qabarıq xətti kombinasiyası olan bütün nöqtələrdə də alınacaqdır. Qrafik üsulu Qrafik üsulu XP – məsələsinin ən sadə həll üsuludur. Bu üsulun əsasını XP – in əsas məsələsinin həndəsi izahı təşkil edir. XP – nin əsas məsələsinin qrafik üsulu ilə həlli şağıdaı mərhələləri əhatə edir.
– Məsələnin həllər oblastının qurulması; – Məqsəd funksiyasının artma istiqamətinin təyin edilməsi; – Funksiyanın ekstremumlarının alındığı təpə nöqtələrinin müəyyən edilməsi və onların koordinatlarının tapılması; – Tapılmış optimal planlara görə funksiyanın ekstremumlarının hesablanması. Fərz edək ki, (1) – (3) məsələsi verilmişdir. Məlum olduğu kimi, (2) sisteminin hər bir xətti bərabərsizliyin müstəvi üzərində bir yarımmüstəvi verir və bu yarımmüstəvilər müstəvidən aşağıdakı sərhəd düz xətti ilə ayrılır. + = ( = 1, )⃗ Əgər (2) sistemi ziddiyyətli deyilsə, onda bu yarımmüstəvilər müstəvi üzərində
≥ 0, ≥ 0 yarımmüstəviləri ilə kəsişərkən, məsələni həll olunmasını verir. C N D B Z = 0 A h 2 0
1 downloaded from KitabYurdu.org Məsələnin həlli oblastı qurulduqdan sonra məqsəd funksiyasının istiqaməti təyin edilir. Bu məqsədləfunksiyanın qradiyenti qurulmalıdır (funksiyanın qradiyenti deyildikdə onun artma istiqamətini təyin edən radius vektor başa düşülür). (1) – məqsəd funksiyasının dəyişənlərinə görə birinci tərtib törəmələrini hesablayaq: = ,
= Deməli, funksiyanın qradiyenti = ( , ) radius vektorudur. Koordinat başlanğıcından raduis vektora perpendikulyar düz xətt keçirək. Nəticədə = 0 səviyyə xəttini alarıq. Bu düz xətti N vektoru boyunca özünə paralel sürüşdürək, bu düz xətt həllər çoxbucaqlısının A və D nöqtələrində həmin oblasta dayaq olacaqdır. Deməli, A və D təpə nöqtələri (2) və 3) şərtləri ilə müəyyən edilən oblastda (1) funksiyasının ən böyük və ən kiçik qiymətlərinin alındığı nöqtələrdir. Radius vektorun istiqamətini bildiyimizdən və ℎ < ℎ olduğundan hökm edə bilərik ki, A təpə nöqtəsində funksiyanın ən kiçik qiyməti, D təpə nöqtəsində isə ən böyük qiyməti alınır. A və D nöqtələrinin koordinatlarını təyin etmək üçün bu nöqtələri doğuran düz xətlərin tənliklərindən ibarət birgə sistemləri həll etmək kifayətdir. Qeyd edək ki, yuxarıdakı misalda məsələnin həllər oblastı qapalı oblast idi. Lakin bəzən elə xətti proqramlaşdırma məsələsinə rast gəlinir ki, bu məsələdə həllər oblastı açıq oblast olur. Bu zaman aşağıdakı iki haldan biri mümkündür. I hal: Z = 0 düz xətti həllər oblastını kəssə də heç bir nöqtədə bu oblasta dayaq olmur. Z Z = 0 Z
O Onda məsələnin məqsəd funksiyası baxılan oblastda həm yuxarıdan, həm də aşağıdan qeyri – məhdud olur, yəni max ( ) = +∞ min ( ) = −∞ downloaded from KitabYurdu.org
II hal: Z = 0 düz xətti məsələnin həllər oblastını kəssə də bəzi nöqtələrdə bu oblasta dayaq olur. Onda: II(a). Məqsəd funksiyası verilmiş oblasta yuxarıdan məhdud, aşağıdan isə qeyri – məhdud olur. Z Z = 0
Z N
O II(b). Məqsəd funksiyası aşağıdan məhdud, yuxarıdan qeyri – məhdud olur. Z Z = 0
Z N
O III(c) Məqsəd funksiyası həm yuxarıdan, həm də aşağıdan məhdud olur. X 2
Z=0 Z N O X 1 downloaded from KitabYurdu.org Mövzu 8. Xətti proqramlaşdırmanın əsas məsələsinin iqtisadi mənası Aşağıdakı sadə iqtisadi məsələyə baxaq: Tutaq ki, firma n sayda məhsul istehsal edir və bu məqsədlə m sayda xammaldan istifadə edir. Xammalların məhdudluğu = ( , , … , ) vektoru ilə təyin edilir. Bu vektorun komponenti firmada olan i – ci xammalın məhdud miqdarıdır. Məhsul vahidi istehsalına xammal sərfi normaları isə =// //
, texnoloji matrislə xarakterizə edilir, burada - bir vahid j – cu məhsul istehsal etmək üçün sərf ediləcək i – ci xammalın miqdarıdır. Məhsul vahidlərinin firmaya verdiyi mənfəət isə = ( , , … , ) vektoru ilə xarakterizə edilir. Burada P j –
bir vahid j – cu məhsulun satışından alınan mənfəətdir. Müəssisə üçün elə bir istehsal proqramı tapmaq tələb edilir ki, bütün məhsulların satışından əldə ediləcək məcmu mənfəət məksimum olsun. Baxılan iqtisadi məsələnin riyazi ifadəsini verək. Tutaq ki, firma X 1 ədəd 1 – ci məhsul, X 2 ədəd 2 – ci məhsul,..., X n ədəd n – ci məhsul istehsal edəcək. Yəni firmanın istehsal proqramı = ( , , … , ) vektoru ilə ifadə ediləcəkdir. Bu məhsulları istehsal etmək üçün tələb edilən 1 – ci xammalın məcmu miqdarını hesablayaq: + +
1 – ə bərabərdir. Odur ki. Bu iqtisadi göstərici birinci xammalın məhdud həcmindən çox ola bilmək, yəni + + ≤ şərti ödənməlidir. Müvafiq bərabərsizlikləri digər xammal növləri üçün də tərtib etsək, aşağıdakı bərabərsizliklər sistemini alarıq: + + ⋯ +
≤ + + ⋯ + ≤ − − − − − − − − − − − − − − − + + ⋯ +
≤ (1) , , … , dəyişənləri firmada istehsal ediləcək məhsul növlərinin miqdarını göstərdiyi üçün, təbii ki, mənfi kəmiyyət ola bilməzlər, yəni ≥ 0, ≥ 0, … ,
≥ 0 (2) Indi isə, firmada istehsal edilən bütün məhsulların satışından əldə ediləcək məcmu mənfəəti hesablayaq: + + ⋯ + Məqsədimizə görə firmanın məcmu mənfəəti maksimum olmalıdır. Odur ki, bu mənfəətə istehsal ediləcək məhsulların həcminin funksiyası kimi baxsaq, yaza bilərik: downloaded from KitabYurdu.org ( ) = + + ⋯ + → (3) Gördüyümüz kimi, (1) – (3) XP – nin maksimum məsələsini aldıq. Yəni , , … , məchulları üçün mənfi olmayan elə qiymətlər tapılmalıdır ki, bu qiymətlər (1) sistemini ödəsin və (3) xətti funksiyaya maksimum qiymət versinlər. Indi isə XP – nin əsas məsələsinin iqtisadi mənasına aid kontret misala baxaq. Tutaq ki, müəssisə 3 növ məhdud ehtiyatdan istifadə etməklə A və B məhsulları istehsal edir. Bir ədəd A məhsulu istehsal etmək üçün - 1 – ci ehtiyatdan 3 vahid - 2 – ci ehtiyatdan 6 vahid - 3 – cü ehtiyatdan 2 vahid tələb olunur. Bir ədəd B əhsulunun istehsal etmək üçün isə bu ehtiyatlardan uyğun olaraq 4, 2 və 5 vahid tələb olunur. Müəssisədə 200 vahid birinci ehtiyat, 300 vahid ikinci və 100 vahid üçüncü ehtiyat vardır. Bir ədəd A məhsulunun satışından müəssisə 50 manat, bir ədəd B məhsulunun satışından 45 manat mənfəət əldə edir. Müəssisə üçün elə bir istehsal proqramı tapmaq lazımdır ki, bu proqrama görə müəssisənin əldə edəcəyi məcmu mənfəət maksimum olsun. Baxılan iqtisadi məsələnin riyazi ifadəsini verək. Tutaq ki, müəssisə x 1 ədəd A məhsulu və x 2 ədəd B məhsulu istehsal edəcək. Yəni müəssisənin istehsal proqramı = ( , ) vektoru ilə təyin ediləcəkdir. x 1 qədər A məhsulu və x 2 qədər B məhsulu istehsal etmək üçün tələb edilən I ehtiyatın miqdarını hesablasaq, alarıq: 3 + 4
Təbii ki, bu kəmiyyət müəssisədə olan bir növ ehtiyatın miqdarından çox ola bilməz yəni; 3 + 4 ≤ 200 Qalan ehtiyat növləri üçün də uyğun bərabərsizlikləri tərtib etsək aşağıdakı xətti bərabərsizliklər sistemini alarıq. 3 + 4 ≤ 200 6 + 2 ≤ 300 2 + 5 ≤ 100 x 1 və x 2 kəmiyyətləri A və B məhsullarının istehsal həcmini göstərdiyindən təbii ki, onlar mənfi kəmiyyət ola bilməzlər. Yəni ≥ 0,
≥ 0 şərtləri ödənməlidir. Indi isə istehsal edilmiş məhsulların satışından əldə ediləcək məcmu mənfəəti hesablayaq: 50 + 45 downloaded from KitabYurdu.org Məsələdə qoyulmuş məqsədə görə bu mənfəət maksimum olmalıdır. Beləliklə alırıq: ( ) = 50 + 45 → (4) 3 + 4 ≤ 200 6 + 2 ≤ 300 2 + 5 ≤ 100 (5) ≥ 0, ≥ 0 (6) Göründüyü kimi baxılan iqtisadi məsələnin riyazi ifadəsi (4) – (6) XP – nın əsas məsələsinə gətirildi. Yəni x 1 və x
2 məchulları üçün mənfi olmayan elə qiymətlər tapılmalıdır ki, bu qiymətlər (5) sisteminin məhdudiyyət şərtlərini ödəsinlər və (4) məqsəd funksiyasına maksimum qiymət versinlər. Beləliklə XP – nın əsas məsələsinin iqtisadi mənası dedikdə müəssisə üçün elə bir istehsal proqramının tapılması başa düşülür ki, bu proqrama görə istehsal ehtiyatlarının məhdudluğu şəraitində müəssisənin əldə edəcəyi məcmu mənfəət maksimum olsun. Bu iqtisadi izaha çox zaman maksimum mənfəət məsələsi deyilir. Qeyd edək ki, XP – nın əsas məsələsinin həndəsi mənasından fərqli olaraq bu iqtisadi izah məsələnin yeganə mümkün izahı deyilir. Belə ki, məsələnin iqtisadi mənasını real həyatdan götürülmüş çoxsaylı misallarla izah etmək olar. downloaded from KitabYurdu.org
Mövzu 9. Xətti proqramlaşdırmanın simpleks üsulla həlli Simpleks ( simpleks – latın sözü olub, sadə deməkdir) - n - ölçülü fəzada + 1 sayda təpə nöqtələrinə malik olan sadə qabarıq çoxüzlüdür ( məsələn, 3 – ölçülü fəzada tetraedr); simpleks həmçinin ≤ 1 şəklində bərabərsizliyin mümkün həllər oblastından (çoxluğundan) ibarətdir. Simpleks üsulu universal alqoritm olmaqla istənilən XP məsələsini həll etmək üçün istifadə olunur. O amerika riyaziyyatçısı Corc Donsiq tərəfindən tətqiq edilmiş və ilk dəfə olaraq 1949 – cu ildə mətbuatda çap edilmişdir. Bu üsulun mahiyyəti ondan ibarətdir ki, əvvəla XP məsələsinin hər hansı dayaq həlli tapılır. Daha sonra digər dayaq həllərə keçməklə məqsəd funksiyasının qiymətləri ardıcıl olaraq artaraq (azalaraq) onun maksimum (minimum) qiyməti tapılır. Simpleks üsulu müxtəlif ədəbiyyatlarda çox vaxt “planların ardıcıl yaxşılaşdırılması üsulu” da adlandırılır. Bu üsul iki mərhələdən ibarətdir: 1) Dayaq həllin axtarılması 2) Optimal həllin axtarılması Dayaq həllin axtarılması mərhələsi – cədvələ keçid, dayaq həllin tapılması əlaməti və əsas elementin seçilməsi mərhələlərini özünə daxil edir. Optimal həllin axtarılması mərhələsi isə - optimal həllin tapılması əlaməti və əsas elementin seçilməsi alt mərhələlərini əhatə edir. Nəticədə XP məsələsinin ya məhdudiyyət şərtlərinin ziddiyyətli olması, yaxud məqsəd funksiyasının qeyri – məhdud olduğu müəyyən edilir, ya da onun optimal həlli tapılır. < XP məsələsi aşağıdakı şəkildə verilmişdir: Məqsəd funksiyası ( ) =
+ + ⋯ +
→ max (1) Məhdudiyyət şərtləri + + ⋯ +
≤ + + ⋯ + ≤ − − − − − − − − − − − − − − − + + ⋯ +
≤ (2) ≥ 0, ( = , ) (3) Burada
, , ( = , , = , ) – verilmiş ədədlərdir və > downloaded from KitabYurdu.org Simpleks üsulunun tətbiqinə keçməmişdən əvvəl (1) - (3) XP məsələsini kanonik (yaxud əsas) məsələ şəklində yazaq. Bu məqsədlə (2) şərtlərini = − −
+ ≥ 0 ( = 1, ) (4) kimi ifadə edək. Beləliklə, , , … , asılı dəyişənləri məsələyə daxil edilir. I. Dayaq həllin axtarılması 1) Cədvələ keçid (1) - (3) məsələsi, həmçinin (4) nəzərə alınmaqla, cədvəl şəklində yazılır: (5) 2) Dayaq həllin tapılması əlaməti. Tutaq ki, (5) – də sərbəst hədlərdən heç biri mənfi deyildir, yəni ≥ 0, ≥ 0, … ,
≥ 0. Onda = 0,
= 0, … , = 0 (6) məsələnin dayaq həllidir. Doğurdan da (6) qiymətlərində (5) cədvəlindən alırıq ki, = ≥ 0 …
= ≥ 0 olur. Daha doğrusu (4) şərtləri ödənilir. Beləliklə “max” XP məsələsinin dayaq həllinin tapılması əlaməti Simpleks cədvəlinin sərbəst sütunundan mənfi həddin olmamasından ibarətdir. 3) Dayaq həllin axtarılması zamanı əsas elementin seçilməsi: Tutaq ki, (5) cədvəlində heç olmazsa bir mənfi sərbəst hədd, məsələn, < 0 vardır. Onda (6) qiymətləri məsələnin heç bir həllini vermir. Belə ki, bu qiymətlərdə =
Sərbəst sütunda mənfiliyi aradan qaldırmaq məqsədi ilə aşağıdakı qaydalar üzrə əsas element tapılır: a) ən kiçik mənfi sərbəst həddin (tutaq ki, < 0) yerləşdiyi r - sətir elementlərinə baxılır. Əgər burada heç bir mənfi element olmazsa, onda həmin məsələnin şərtləri uyuşan deyil. Deməli, məsələnin həlli yoxdur. b) Həmin sətirdə yerləşən hər hansı elementin daxil olduğu S – sütunu əsas sütun olur. c) Sərbəst hədlərin əsas sütunun müvafiq elementlərinə olan nisbəti tərtib edilir. Ən kiçik nisbətin alındığı sətir əsas sətir götürülür. Tutaq ki, min ≥ 0 =
, onda r sətri əsas sətir olur. − . . .. – ↓ . . .. − İ = . . ..
. . .. → . . .. . . .. = . . .. . . .. = − …. − …. − 0 downloaded from KitabYurdu.org d) Əsas s sütununun və r sətirinin kəsişməsində əsas elementi seçilir. Bu elementə nəzərən bir addım atılır (tətbiq edilir). Nəticədə sərbəst həddi artıq müsbət olur, daha doğrusu = > 0 alırıq. Cədvəlin sərbəst sütununda qalan digər mənfi mənfi həddlər də oxşar qayda ilə mənfilikdən azad edilir. Sonlu sayda addım tətbiq etməklə ya məsələnin şərtlərinin birgə olmadığını müəyyən edirik, ya da onun dayaq həllini tapırıq. Qeyd etmək lazımdır ki, XP nəzəriyyəsinin iqtisadi tətbiqi məsələlərində sərbəst həddlər müsbət, yəni ≥ 0 ( = , ) olurlar. Ona görə də birinci mərhələnin 2- ci altmərhələsindən sonra bilavasitə II mərhələyə - optimal həllin axtarılmasına keçmək lazımdır. Tutaq ki, I mərhələ başa çatmışdır, dayaq həll tapılmış və nəticədə aşağıdakı cədvəl alınmışdır: − … − − … − …
I = … , … … -------- ------------------------------------------------------------ ------ = …
… … = , … , , … , … , --------- ------------------------------------------------------------ ------- … , … … --------- ------------------------------------------------------------ ------- … , … … = … … …
Q Burada
≥ 0, … , ≥ 0 (8) və deməli, = 0, … ,
= 0, = 0, … ,
= 0 (9) məsələnin dayaq həllidir. Məqsəd funksiyasının müvafiq qiyməti isə Z=Q. Bundan sonra II mərhələyə keçirik. II.
Optimal həllin axtarılması Bu 2 mərhələdən ibarətdir. 1) Optimal həlllin tapılması əlaməti (7) cədvəlinin Z – sətir əmsallarına baxılır. Əgər onların içərisində mənfi olanı yoxdursa, yəni ≥ 0, … ,
≥ 0 , olarsa, onda tapılmış (9) dayaq həlli məsələnin həm də optimal həllidir. Beləliklə, XP məsələsi həll edilmişdir və Z max = Q
≪min≫ XP məsələsi iki üsulla həll edilir: I üsul: “min” XP məsələsi müvafiq “max” XP məsələsinə gətirilir. Bunun üçün Z(x) funksiyasını (-1) - ə vurmaq və aşağıdakı “max” XP məsələsini həll etmək kifayətdir: downloaded from KitabYurdu.org
Məqsəd funksiyası ( ) = (−1) ( ) = − − − ⋯ −
→ (10) (2) və (3) şərtləri olduğu kimi saxlanılır. Bu zaman alınmış “max” XP məsələsinin optimal həlli olur və aşağıdakı bərabərlik doğrudur: Z
min = (-1) F max II üsul: “min” XP məsələsi bilavasitə Simpleks üsulu ilə həll edilir. downloaded from KitabYurdu.org Mövzu 10:Xətti proqramlaşdırmada qoşmalıq Verilmiş hər bir əsas (ilkin) xətti proqramlaşdırma məsələsi ilə yanaşı çox hallarda digər xətti proqramlaşdırma məsələsinə də baxılır ki, bu da onun qoşma məsələ müəyyən qaydalar üzrə alınır. Asanlıqla yoxlamaq olar ki, əsasməsələyə onun öz qoşmanın qoşma məsələsi kimi baxmaq olar. Ona görədə xətti proqramlaşdırmanın əsas nə qoşma məsələləri qarşılıqlı qoşma olan məsələlər cütünü təşkil edir. Onlar simmetrik və qeyri – simmetrik ola bilərlər. Bununla əlaqədar olaraq qoşma olan xətti proqramlaşdırma məsələlərini vahid simpleks cədvəlində yazmağı bacarmalıyıq. Onda əsas xətti proqramlaşdırma məsələsini həll edərkən eyni zamanda onun qoşma xətti proqramlaşdırma məsələsini həll edərkən eyni zamanda onun qoşma xətti proqramlaşdırma məsələsi ddə həll edilir və əksinə. Bu zaman xətti proqramlaşdırma məsələsinin həlli nəticəsində məqsəd funksiyası üçün alınmış ekstremum qqiymət qoşma xətti proqramlaşdırma məqsəd funksiyasının ekstremum qiyməti ilə üst – üstə düşür. Əgər əsas məsələ olaraq “max” xətti proqramlaşdırma məsələsi götürülərsə. Onda onun qoşması “min” xətti proqramlaşdırma məsələsindən ibarət olur. Bu zaman yuxarıda göstərdiyimiz kimi, əsas məsələni simpleks üsulu ilə həll etdikdə ona qoşma olan məsələ də paralel həll edilir. Beləliklə, “min” xətti proqramlaşdırma məsələsinin həlli üçün yenio üsul alınmış olur ki, buna da qoşma simpleks üsulu deyilir. Ona görə də “max” simpleks üsulu ilə\ həlli mərhələləri ilə paaralel sürətdə həmçinin “min” xətti proqramlaşdırma məsələsinin də qoşma simpleks üsulu ilə həlli prosesində irəli gələn mərhələləri ifadə etməyi bacarmalıyıq. Xətti proqramlaşdırma qoşma məsələləri simmetrik və qeyri – simmetrik ola bilərlər. Simmetrik məsələlərdə həm düz. Həm də qoşma məsələnin məhdudiyyət şərtləri bərabərsizliklərdən ibarət olur, məchulların işarələi üzərinə isə mənfi olmamaq şərtləri qoyulur. Qeyri – simmetrik məsələlərə isə düz məsələnin məhdudiyyət şərtləri bərabərsizlik və bərabərliklərdən ibarət olmaqla qarışıq şəkildə verilir. Bu zaman qoşma məsələnin məchulları mənfidə ola bilərlər. Indi isə simmetrik qoşma məsələdə ola bilərlər. Indi isə simmetrik qoşma məsələlərin tərtibi üçün ümumi qaydaları ifadə edək: Düz məsələ Məqsəd funksiyası ( ) =
+ + ⋯ +
→ (1)
Məhdudiyyət şərtləri + + ⋯ + ≤ + + ⋯ + ≤ − − − − − − − − − − − − − − − + + ⋯ +
≤ (2)
Məchulların mənfi olmaması şərtləri ≥ 0;
≥ 0; … ; ≥ 0
, , … , məchulları üçün elə qiymətlə tapmalı ki, onlar (2) və (3) şərtlərini ödəsin, (1) xəttifunksiyasına isə maksimum qiymət versinlər. Tərif 1: Məhdudiyyət şərtlərində məchulların əmsallarından ibarət matris, sərbəst hədlərdən ibarət sütun matrisi və məqsəd funksiyasının əmsallarından ibarət sətir matrisi daxil olan matrisə xətti proqramlaşdırma məsələsinin genişləndirilmiş matrrisi deyilir. Tərif 1 – ə əsasən (1) – (3) xətti proqramlaşdırma məsələsinin genişləndirilmiş matisi aşağıdakı şəkildə olur: downloaded from KitabYurdu.org = ⎝ ⎜ ⎜ ⎛ … ⋮ … ⋮ − − − − − − − ⋮ − … ⋮ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋮ ⋯ …
⋮ ⎠ ⎟ ⎟ ⎞ (4) Qoşma məsələ Məqsəd funksiyası ( ) = +
→ (5)
Məhdudiyyət şərtləri + + ⋯ + ≤ + + ⋯ + ≤ − − − − − − − − − − − − − − − + + ⋯ +
≤ (6)
Məchulların mənfi olmaması şərtləri ≥ 0;
≥ 0; … ; ≥ 0
, , … , məchulları üçün elə qiymətlə tapmalı ki, onlar (6) – (7) şərtlərini ödəsin, (5) xəttifunksiyasına isə minimum qiymət versinlər. Aşağıda simmetrik və qeyri – simmetrik qoşma məsələlərinin tərttibinə aid nümunələr verilmişdir. Simmetrik məsələlər: 1) Ilkin məsələ ( ) = →
≥ 0 ( = 1, ⃗) Qoşma məsələ ( ) = →
= 1, ⃗ ≥ 0 ( = 1, ⃗) 2) Ilkin məsələ ( ) =
→ ≥ = 1, ⃗ ≥ 0 ( = 1, ⃗) downloaded from KitabYurdu.org Qoşma məsələ ( ) =
→ ≤ = 1, ⃗ ≥ 0 ( = 1, ⃗) Qeyri – simmetrik məsələlər: 1) Ilkin məsələ ( ) =
→ = = 1, ⃗ ≥ 0 ( = 1, ⃗) Qoşma məsələ ( ) = →
= 1, ⃗ >=< 0 ( = 1, ⃗) 2) Ilkin məsələ ( ) =
→ = = 1, ⃗ ≥ 0 Qoşma məsələ ( ) = → ≤ = 1, ⃗ >=< 0 ( = 1, ⃗) downloaded from KitabYurdu.org
Mövzu 12: Qapalı və açıq nəqliyyat məsələləri = (1)
Tarazlıq şərti ödənən nəqliyyat məsələsinə qapalı balanslı nəqliyyat məsələsi və ya sadəcə qapalı nəqliyyat məsələsi deyilir. Teoremə görə yalnız qapalı nəqliyyat məsələsini həll etmək mümkündür. Bəzən nəqliyyat məsələsində (1) tarazlıq şərti ödənmir. Yəni məcmu tələbdən çox, yəni > (2)
və ya az, yəni < (3)
(2) və (3) şərtləri ödənən nəqliyyat məsələsinə açıq nəqliyyat məsələsi deyilir. (2) şərti ödənən açıq nəqliyyat məsələsi quraq: ( ) = →
= ( = 1, ) ≥ 0
= 1, = 1,
(2) şərti ödənən açıq nəqliyyat məsələsi isə aşağıdakı kimi yazılacaqdır. ( ) =
→ downloaded from KitabYurdu.org = ( = 1, ) ≤ ( = 1, ) ≥ 0 = 1,
= 1, Yuxarıdakı teoremə görə açıq nəqliyyat məsələsini həll etmək mümkün deyil. Odur ki, onları qapalı şəklə gətirmək lazımdır. Tutaq ki, (2) şərti ödənir, yəni məcmu təklif məcmu tələbdən çoxdur. Bu halda məsələni qapalı şəklə gətirmək üçün həmin məsələyə (n+1) – ci şərti istehlakçı daxil edilir və onun tələbi aşağıdakı kimi hesablanır: = −
həm də X daşınmalar matrisinə (n+1) – ci sütun əlavə edilir (C matrisində bu sütuna ya “0” – lar, ya da bu matrisin digər elementləri ilə müqayisədə kifayət qədər böyük ədədlər yazılır). Onda baxılan açıq nəqliyyat məsələsi = (2 ) şəklində tarazılıq şərti daxilində qapalı məsələyə çevrilir. Tutaq ki, açıq nəqliyyat məsələsində (3) şərti ödənilir, yəni məcmu tələb məcmu təklifdən çoxdur. Bu halda məsələni qapalı şəklə gətirmək üçün (m+1) – ci şərti istehsal müəssisələrindən istifadə edilir və bu müəssisədə olan məhsulun miqdarı aşğıdakı kimi müəyyən edilir: = −
sətir əlavə edilir. Onda baxılan açıq nəqliyyat məsələsi = (3 ) downloaded from KitabYurdu.org tarazlıq şərti daxilində qapalı məsələyə çevrilir. Alınmış yeni qapalı nəqliyyat məsələsi həll edilərək optimal həll tapıldıqdan sonra bu optimal həlldə (m+1) - ci əlavə sətir və ya (n+1) – ci sütun silinir və baxılan açıq nəqliyyat məsələsinin optimal həlləri tapılır. Əgər C matrisində əlavə edilmiş (m+1) – ci sətirə və ya (n+1) – ci sütuna “0” – lar yazılmışdırsa onda açıq nəqliyyat məsələsi ilə onun gətirildiyi qapalı nəqliyyat məsələsinin məqsəd funksiyasının qiymətləri üst - üstə düşür. Əgər C matrisinə əlavə edilmiş (m+1) – ci sətir və ya (n+1) – ci sütuna “0” – dan fərqli böyük ədədlər yazılmışsa, onda açıq nəqliyyat məsələsinin məqsəd funksiyasının minimum qiymətini tapmaq üçün bu məsələnin gətirildiyi qapalı nəqliyyat məsələsinin nəqliyyat xərclərinin cəmindən X – daşınmalar matrisindən silinmiş sətir və ya sütunla bağlı nəqliyyat xərclərinin cəmini çıxmaq lazımdır. downloaded from KitabYurdu.org Mövzu 13: Nəqliyyat məsələsinin həll üsulları Nəqliyyat məsələsi riyazi ifadəsinə görə xətti proqramlaşdırmanın əsas məsələsidir. Odur ki, məsələni Simpleks metodu ilə həll etmək mümkündür. Lakin nəqliyyat məsələsinin indiyə qədər baxılan xətti proqramlaşdırmadan fərqli cəhətləri vardır. Bu fərqli cəhətlər aşağıdakılardır: 1. Nəqliyyat məsələsinin dəyişənləri iki indekslidir; 2. Məsələnin bütün məhdudiyyət şərtləri tənliklərdən ibarətdir; 3. Hər bir dəyişən yalnız iki məhdudiyyət şərtində iştirak edir; 4. Məsələnin məhdudiyyət şərtlərində iştirak edən bütün dəyişənlərin əmsalları vahidə bərabərdir. Bu fərqli cəhətlər ona gətirib çıxarır ki, məsələni Simpleks üsulla həll etmək nəzəri cəhətdən mümkün olsa da, praktik baxımdan mümkün olmur (hesablama işlərinin sayı həddən artıq çox olur). Odur ki, nəqliyyat məsələsini həll etmək üçün bu fərqli cəhətləri nəzərə alan və optimal həllin tapılmasını prosesini asanlaşdıran bir sıra sonlu həll metodları hazırlanmışdır. Bu metodlara misal olaraq potensiallar metodunu, macar metodunu, bölgü metodunu, diferensial renta metodunu, Foqelin approksimasiyası metodunu və s. göstərmək olar. Nəqliyyat məsələsinin həllində ən çox işlənən metod potensiallar metodudur. Potensiallar metodunun alqoritmi hazırlıq hazırlıq mərhələsindən və sonlu sayda eyni tipli yaxınlaşmalardan ibarətdir. Hazırlıq mərhələsində məsələnin hər hansı bir daşınmalar matrisi tərtib edilir və onun optimal olub olmaması yoxlanılır. Hər bir yaxınlaşma iki mərhələdən ibarətdir (birinci və sonuncu yaxınlaşmalardan başqa. Birinci yaxınlaşma yalnız ikinci mərhələdən, sonuncu yaxınlaşma isə yalnız birinci mərhələdən ibarətdir). Yaxınlaşmanın birinci mərhələsində əvvəlki yaxınlaşmalarda tərtib edilmiş daşınmalar planının optimal olub – olmaması yoxlanılır.ikinci mərhələdə optimal olmayan plan yaxınlaşdırılaraq daha az (ən pis halda ona bərabər) nəqliyyat xərclərinə malik yeni daşınmalar planı tərtib edilir. Hazırlıq mərhələsinin məzmunu. Bu mərhələdə məsələnin X daşınmalar matrisi ilə verilmiş başlanğıc daşınmalar planı tərtib edilir və onun optimal olub olmaması yoxlanılır. Ilkin daşınmalar matrisini aşağıdakı üsullardan biri ilə tərtib etmək olar: 1. Şimal – qərb bucağı üsulu 2. Ən kiçik element üsulu 3. Iki dəfə nəzərə alma üsulu 4. Foqeli approksimasiyası üsulu Ən kiçik element üsulu timsalında nəqliyyat məsələsinin başlanğıc daşınmalar planının alqoritmini ətraflı şəkildə nəzərdən keçirək. Ən kiçik element üsulu ilə X dayaq daşınmalar matrisini qurmaq üçün C nəqliyyat xərcləri matrisində ən kiçik tapılır tutaq ki, downloaded from KitabYurdu.org
min ; = − ,
Bu elementə X daşınmalar matrisində elementi uyğun gəlir. Həmin elementin qiyməti aşağıdakı məntiqi müqayisə mexanizmi vasitəsi ilə təyin edilir: = min
; , Burada – – cı müəssisənin (sətrin) ehtiyatı; - – cı istehlakçının (sütunun) tələbidir. Bu zaman aşağıdakı 3 haldan biri mümkündür. 1. < onda =
olur və X daşınmalar matrisinin – cı sətrinin qalan bütün elementlərinin qiyməti “0” – a bərabər olur. Bu sətrin qalıq ehtiyatı “0” – a bərabər olur. – cı sütunun qalıq tələbi isə ` =
kimi hesablanır. 2. > onda =
olur və X daşınmalar matrisinin – cı
sütununun qalan bütün elementlərinin qiyməti “0” – a bərabər olur. Bu sütunun tələbi isə “0” – a bərabər olur. – cı sətirin qalıq ehtiyatı isə ` = − kimi hesablanır. 3. =
= = olur. X daşınmalar matrisinin – cı sətrinin həm də – cı sütununun qalan bütün elementlərinin qiyməti “0” – a bərabər olur. Həm – cı sətirin qalıq ehtiyatı, həm də – cı sütunun qalıq tələbi “0” – a bərabər olur. Beləliklə, X daşınmalar matrisinin elementinin qiyməti təyin edilən zaman paralel olaraq bu matrisin – cı sətirinin, ya – cı sütununun, ya da hər ikisinin bütün elementlərinin qiymətləri tapılmış olur. Sonra C nəqliyyat xərcləri matrisində bu bağlı sətir və ya sütuna uyğun gələn sətir və ya sütun silinir. Daha sonra C matrisinin qalan elementləri içərisində yenidən ən kiçiyi seçilir və proses təkrarlanır. Bu proses X daşınmalar matrisinin bütün elementlərinin qiymətləri təyin edilənə qədər davam etdirilir. Yuxarıda sadaladığımız digər üsullar bu üsuldan yalnız X daşınmalar matrisinin təyin ediləcək elementinin seçilməsi ardıcıllığı ilə fərqlənir. Məsələyə baxaq: Məsələ:
Tutaq ki, 4 müəssisədə uyğun olaraq = 220 ℎ , = 340, = 410, = 230 vahid məhsul vardır. Bu məhsulları 5 istehlak məntəqəsinə daşımaq lazımdır. Birinci istehlakçının tələbi = 250 ℎ , ikinci istehlakçının tələbi = 150 ℎ , üçüncü istehlakçının tələbi = 250 ℎ , dördüncü istehlakçının tələbi = 150 ℎ , beşinci istehlakçının tələbi = 400 ℎ . Məhsul vahidlərinin daşınma xərcləri aşağıdakı nəqliyyat xərcləri matisi ilə verilmişdir. downloaded from KitabYurdu.org = 3 2 6 5 9 5 4 3 8 6 2 1 9 4 7 7 2 6 6 8 Nəqliyyat məsələsinin iqtisadi – riyazi modelini qurun və ən kiçik element üsulu ilə başlanğıc daşınmalar matrisini tərtib edin. Həlli:
Tutaq ki, { , } kommunikasiyası üzrə - vahid məhsul daşınacaqdır. Onda alarıq: ( ) = 3
+ 2 + 6
+ 5 + 9
+ 9 + 4
+ 3 + 8
+ 6 + 2 + + 9
+ 4 + 7
+ 7 + 2
+ 6 + 6
+ 8 → . + + + + = 220
+ + + + = 340
+ + + + = 410
+ + + + = 230
⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ + + + = 250 + + + = 150 + + + = 250
+ + + = 150 + + + = 400
≥ 0 ( = 1,4 , = 1,5) Məsələdə
= = 1200
olduğu üçün bu məsələ qapalıdır. Məsələ üçün – başlanğıc daşınmalar matrisi qurulmalıdır. Baxılan nəqliyyat məsələsi 4 x 5 ölçülü olduğu üçün bu daşınmalar matrisi aşağıdakı kimi axtarılacaqdır. = Ən kiçik element metodu üsulunu tətbiq edək. C nəqliyyat xərcləri matrisində ən kiçik element tapılır. Bu element = 1
elementidir. daşınmalar matrisində C matrisinin bu elementinə uyğun gələn element olacaqdır. Deməli, ilk növbədə bu elementin qiyməti təyin edilməlidir. = { ; } = {410; 150 } = 150 < olduğu üçün daşınmalar matrisinin 2-ci sətrinin qalan bütün elementlərinin qiymətləri 0 - a bərabər olur: = 0,
= 0, = 0
downloaded from KitabYurdu.org Göründüyü kimi daşınmalar matrisinin 2 – ci sütununun qalıq tələbi ` = 0 olur. 3 – cü sətrin qalıq qiyməti isə ` = 410 − 150 = 260 olur. Beləliklə, daşınmalar matrisinin 2 – ci sütununun bütün elementləri təyin edildiyi üçün C nəqliyyat xərcləri matrisində 2 – ci sütunu silirik. Sonra bu matrisin qalan elementləri içərisində yenidən yenidən ən kiçiyini tapırıq. Bu = 2 elementidir. Deməli, daşınmalar matrisinin təyin ediləcək növbəti elementi elementi olacaqdır: = min{ `; } = min{260; 250} = 250
daşınmalar matrisinin 1 – ci sütununun qalan elementlərinin qiymətləri sıfıra bərabər olur: = 0,
= 0, = 0
1 – ci sütunun qalıq tələbi ` = 0 olur. 3 – cü sətrin qalıq ehtiyatı isə `` = ` − ` = 260 − 250 = 10 olacaqdır. daşınmalar matrisinin 1 – ci sütununun bütün elementləri təyin edildiyi üçün C nəqliyyat xərcləri matrisində 1 – ci sütunu silinir və proses bu qayda ilə başlanğıc daşınmalar matrisinin bütün elementləri alınana qədər davam etdirilir. Beləliklə aşağıdakı daşınmalar matrisini alırıq: = 0 0
0 0 0 140 80 250 0 90 250 150 0 0 0 10 0 0 0 230 Bu daşınmalar üçün nəqliyyat xərclərinin cəmi: ( ) = 5 ∙ 140 + 9 ∙ 80 + 3 ∙ 250 + 6 ∙ 90 + 2 ∙ 250 + 1 ∙ 150 + 4 ∙ 10 + 8 ∙ 230 = 5240 ℎ downloaded from KitabYurdu.org Yüklə 0,55 Mb. Dostları ilə paylaş:
|