Mövzu 19. ƏDƏDİ siralar. MÜSBƏt həDLİ siralar üÇÜn müqayiSƏ VƏ yigilma əlaməTLƏRİ

Qeyd 1. Teorem 1-dəki (3) şərti bütün hədlər üçün deyil, müəyyən nömrədən sonra gələn bütün hədlər üçün ödənildikdə də bu teoremin hökmü öz gücündə qalır.
Qeyd 2. Teorem 1-dəki (3) şərti əvəzinə , şərti ödənildikdə də bu teoremin hökmü doğrudur.
Teorem 2. Tutaq ki, (1) müsbət hədli, (2) isə ciddi müsbət hədli sıradır. Əgər
(5)
limiti sonludursa, onda (2) sırasının yığılmasından (1) sırasının yığılması, (1) sırasının dağılmasından (2) sırasının dağılması çıxır.
Teorem 3. Fərz edək ki, (1), (2) hər ikisi ciddi müsbət hədli sıralardır və bu ədədi sıralar üçün
şərti ödənilir. Onda (2) sırasının yığılmasından (1) sırasının yığılması, (1) sırasının dağılmasından (2) sırasının dağılması çıxır.
4. Dalamber əlaməti və onun limit şəkli
Teorem 1 (Dalamber əlaməti). Ciddi müsbət hədli ədədi sırası üçün
(1)
şərti ödənilirsə, bu ədədi sıra yığılan,
(2)
şərti ödənildikdə isə bu sıra dağılandır.
İsbatı. Fərz edək ki, (1) şərti ödənilir. işarə edərək, ədədi sırasına baxsaq, olduğu üçün bu ədədi sıra yığılandır. Digər tərəfdən olduğu üçün (1)-ə əsasən
şərti ödənilir. Bu fəsil, §3, teorem 3-ə əsasən ədədi sırasının yığılmasından ədədi sırasının yığılması alınır.
İndi isə tutaq ki, (2) şərti ödənilir. İsbat edək ki, bu halda ədədi sırası dağılandır. götürsək, olduğu üçün (2) şərtini belə yazmaq olar:
ədədi sırası dağılan olduğu üçün bu fəsil, §3, teorem 3-ə əsasən ədədi sırası dağılandır.
Teorem 1 isbat olundu.
Qeyd. Teorem 1-dəki (1) şərtini şərti ilə əvəz etmək
olmaz. Məsələn, harmonik sırası üçün
olduğu üçün şərti ödənilir. Lakin məlum
olduğu kimi harmonik sıra dağılandır.
Teorem 2 (Dalamber əlamətinin limit şəkli). Ciddi müsbət hədli ədədi sırası üçün
(3)
limiti varsa, olduqda bu sıra yığılan, olduqda isə bu sıra dağılandır.
Qeyd. (3) bərabərliyi ilə təyin olunan ədədi vahidə bərabər olduqda ədədi sırası yığılan da ola bilər, dağılan da ola bilər.
Məsələn, harmonik sırası üçün ,
Harmonik sıra dağılandır.
Bir qədər sonralar biz göstərəcəyik ki,
sırası yığılandır. Bu ədədi sıra üçün ,