Mövzu 19. ƏDƏDİ siralar. MÜSBƏt həDLİ siralar üÇÜn müqayiSƏ VƏ yigilma əlaməTLƏRİ

MÖVZU 19. ƏDƏDİ SIRALAR. MÜSBƏT HƏDLİ SIRALAR ÜÇÜN MÜQAYİSƏ VƏ YIGILMA ƏLAMƏTLƏRİ.
1.Ədədi sıra anlayışı. Yıgılan ədədi sıralar və onların xassələri.
2. Müsbət hədli sıraların yıgılmasının zəruri və kafi şərt teoremi.
3. Müsbət hədli sıralar üçün müqayisə əlamətləri.
4. Dalamber əlaməti və onun limit şəkli.
5. Koşi əlaməti və onun limit şəkli.

• Ədədi sıra anlayışı. Yıgılan ədədi sıralar və onların xassələri

Fərz edək ki, ixtiyari bir ədədi ardıcıllıqdır. Bu ədədi ardıcıllığın hədlərindən aşağdakı formal cəmi düzəldək:
(1)
(1)-ə ədədi sıra , ədədlərinin hər birinə isə bu ədədi sıranın hədləri deyilir.
,
işarə edib, -ə birinci, -yə ikinci, -ə üçüncü və s.
-ə n-ci xüsusi cəm deyilir.

Bu qayda ilə biz yeni bir ədədi ardıcıllığını aldıq.
-ə (1) ədədi sırasının xüsusi cəmlər ardıcıllığı deyilir.
Tərif. Ədədi sıranın xüsusi cəmlər ardıcıllığının sonlu limiti varsa, onda ədədi sıraya yığılan ədədi sıra , həmin limitə isə bu ədədi sıranın cəmi deyilir.
Bu tərifə əsasən sonlu limiti varsa, onda (1) -ə yığılan ədədi sıra deyilir. Bu halda
və ya yazırlar.
Xüsusi cəmlər ardıcıllığının sonlu limiti olmadıqda ədədi sıraya dağılan ədədi sıra deyilir. Başqa sözlə, ədədi ardıcıllığının limiti yoxdursa və ya olarsa , onda (1) ədədi sırasına dağılan ədədi sıra deyilir. olduqda şərti olaraq yazırlar.
Qeyd etmək lazımdır ki, ədədi ardıcıllığının sonlu limiti olmadıqda (1) cəmi heç nəyi ifadə etmir.Ona görə də yuxarıda ədədi sıraya tərif verilərkən «formal cəm» terminindən istifadə olundu.
Ədədi sıralara bir neçə misal göstərək.
1. .
Bu ədədi sıranın xüsusi cəmlər ardıcıllığını düzəldək:
Göründüyü kimi , , . Aydındır ki, bu ədədi sıranın xüsusi cəmlər ardıcıllığının limiti yoxdur.
Doğrudan da , ədədi ardıcıllıq yığılan olduqda onun hər bir altardıcıllığı da həmin ardıcıllığın yığıldığı ədədə yığılır. Lakin bu ədədi sıranın xüsusi cəmlər ardıcıllığının tək nömrəli altardıcıllığı stasionar ardıcıllıq olub
1-ə , cüt nömrəli altardıcıllığı isə 0-a yığılır. Deməli, -in limiti yoxdur. Ona görə də verilən sıra dağılandır.
Qeyd edək ki , riyaziyyatda yığılan ədədi sıra anlayışı formalaşmamışdan əvvəllər cəmi uzun müddət riyaziyyatçılar arasında ziddiyyətli mülahizələrə gətirib çıxarmışdır.
Məsələn, bəziləri bu cəmi
kimi yazıb, onun sıfra bərabər olduğunu güman etmişlər. Başqa bir qisim riyaziyyatçılar bu cəmi
kimi yazıb onu 1-ə bərabər hesab etmişlər.
Bu cəmin qiymətini S ilə işarə edib,
nəticəsini alıb, hesab edənlər də olmuşdur.
Əslində isə ədədi sırası dağılan olduğundan bu yazılış formal cəm olub, onun heç bir qiyməti yoxdur.
2. ədədi sırasının yığılan olub olmadığını araşdıraq.Bunun üçün əvvəlcə həmin sıranın n-ci xüsusi cəmini yazaq:
Həndəsi silsilənin hədlər cəmi düsturuna görə
(2)
Aşağıdakı hallara ayri-ayriliqda baxaq:
1-ci hal. . Bu halda olduğu üçün (2)-dən alırıq:
Beləliklə, olduqda ədədi sıra yığılandır və onun
cəmi -dür. Ona görə olduqda

yazmaq olar.