Tərif. (1) ədədi sırasından ilk n sayda hədləri atmaqla alınan
(6)
ədədi sırasına (1) ədədi sırasının n -ci qalığı deyilir.
(6) yığılan ədədi sıra olduqda onu
kimi işarə edəcəyik. (1) ədədi sırası yığılan olduqda
şərti ödənilir.
Qeyd edək ki, (1) və (6) sıraları eyni zamanda ya dağılan , ya da yığılan olurlar. Yəni bu sıraların hər hansı birinin yığılan olmasından o birinin də yığılan olması və ya birinin dağılan olmasından o birinin də dağılan olması alınır. Bu isə odeməkdir ki, istənilən sıranın əvvəlindən ixtiyari sonlu sayda hədlərin atılması və ya əlavə edilməsi bu sıranın yığılması və ya dağılmasına təsir etmir.
2. Müsbət hədli sıraların yıgılmasının zəruri və kafi şərt teoremi Bütün hədləri mənfi olmayan sıraları müsbət hədli sıralar adlandırmaq qəbul olunmuşdur. Bütün hədləri müsbət olan ədədi sıralara isə ciddi müsbət hədli sıralar deyilir. Hər bir müsbət hədli sıranın xüsusi cəmlər ardıcıllığı azalmayandır. Doğrudan da, tutaq ki, müsbət hədli ədədi sıradır. Onda olmalıdır.
Şərtə görə olduğu üçün buradan
olduğu alınır. Bu isə o deməkdir ki, azalmayan ardıcıllıqdır.
Tutaq ki, ixtiyari bir yığılan ədədi sıradır. Onda bu ədədi sıranın xüsusi cəmlər ardıcıllığı yığılandır. Hər bir yığılan ardıcıllıq məhdud olduğundan ədədi ardıcıllığı məhduddur. Beləliklə, hər bir yığılan ardıcıllığın xüsusi cəmlər ardıcıllığı məhduddur. Lakin xüsusi cəmlər ardıcıllığı məhdud olan ədədi sıra yığılan olmaya da bilər. Məsələn ədədi sırasının xüsusi cəmlər ardıcıllığı məhduddur: . Lakin bu ədədi sıra dağılandır.
Aşağıdakı teorem doğrudur.
Teorem (Müsbət hədli sıraların yığılmasının zəruri və kafi şərti).Müsbət hədli sırasının yığılması üçün zəruri və kafi şərt onun xüsusi cəmlər ardıcıllığının yuxarıdan məhdud olmasıdır.
İsbatı. Zəruriliyin isbatı. Fərz edək ki, müsbət hədli ədədi sıra yığılandır. Biz yuxarıda göstərdik ki , istənilən yığılan ədədi sıranın xüsusi cəmlər ardıcıllığı məhduddur. Ona görə yığılan müsbət hədli ədədi sıranın xüsusi cəmlər ardıcıllığı da yuxarıdan məhdud olacaqdır.
