Mövzu 19. ƏDƏDİ siralar. MÜSBƏt həDLİ siralar üÇÜn müqayiSƏ VƏ yigilma əlaməTLƏRİ

Kafiliyin isbatı. İndi isə fərz edək ki, müsbət hədli sıranın xüsusi cəmlər ardıcıllığı yuxarıdan məhduddur. Ədədi sıra müsbət hədli olduğundan onun xüsusi cəmlər ardıcıllığı azalmayandır.Məlumdur ki, azalmayan ardıcıllıq yuxarıdan məhdud olduqda yığılandır. Deməli
-in sonlu limiti var, yəni ədədi sırası yığılandır.
Teorem isbat olundu.
Qeyd edək ki, müsbət hədli ədədi sıra yığılan olmadıqda , onun xüsusi cəmlər ardıcıllığı qeyri-məhdud olur .
3. Müsbət hədli sıralar üçün müqayisə əlamətləri
 
Müqayisə əlaməti dedikdə yığılması və ya dağılması məlum olan bir ədədi sıra ilə müqayisə nəticəsində başqa bir ədədi sıranın yığılması və ya dağılmasına dair hökmü ifadə edən təklif nəzərdə tutulur. Müsbət hədli ədədi sıralar üçün bir neçə müqayisə əlamətləri ilə tanış olaq.
Teorem 1. Tutaq ki, müsbət hədli
(1)
(2)
ədədi sıralarının hədləri arasında
(3)
şərti ödənilir.
Onda (2) ədədi sırası yığılandırsa (1) ədədi sırası da yığılandır, (1) ədədi sırası dağılandırsa (2) ədədi sırası da dağılandır.
İsbatı. Əvvəlcə fərz edək ki, (2) ədədi sırası yığılandır. İsbat edək ki, onda (1) ədədi sırası da yığılandır. (1)-in n-ci xüsusi cəmini , (2)-nin n-ci xüsusi cəmini ilə işarə edək:
, . (3) şərtindən alınır ki,
(4)
Fərziyyəmizə görə müsbət hədli (2) ədədi sırası yığılandır. Onda (2)-nin xüsusi cəmlər ardıcıllığı yuxarıdan məhduddur: .
Buradan və (4)-dən alırıq: . Deməli, (1)-in xüsusi cəmlər ardıcıllığı yuxarıdan məhduddur. Müsbət hədli sıraların yığılmasının zəruri və kafi şərt teoreminə cörə (1) ədədi sırası yığılandır.
İndi isə fərz edək ki, (1) ədədi sırası dağılandır. İsbat edək ki, onda (2) ədədi sırası da dağılandır.
Məlumdur ki, müsbət hədli sıra dağılan olduqda onun xüsusi cəmlər ardığıllığı qeyri-məhdud olur. (1) dağılan olduğu üçün . Buradan və (4)-dən alınır ki, . Bu isə o deməkdir ki, (2) ədədi sırası dağılandır.
Teorem 1 isbat olundu.