Muhammad al-Xorazmiy nomidagi Toshkent Axborot Texnologiyalari Universiteti mustaqil ish mavzu

Analitik usul.
Agar uzluksiz f (x) funktsiya [a, b] kesma uchlarida qarama-qarshi ishorali qiymatlar qabul qilsa, ya'ni f(a)f (b)<0 bo`lsa, u holda bu kesmada f (x)=0 (1) tenglamaning kamida bitta ildizi mavjud;
Agar [a,b] kesmada uzluksiz va monotonli f(x) funktsiya kesmaning uchlarida har xil ishorali qiymatlar qabul qilsa, u holda bu kesmada faqat bitta ildiz mavjud;
Agar f(x) funktsiya [a,b] kesmada uzluksiz bo'lsa va kesmaning uchlarida har xil ishorali qiymatlar qabul qilsa va uning hosilasi kesmada ishorasini o`zgartirmasa, u holda kesma ichida
(1) tenglamaning ildizi mavjud va yagona bo`ladi.

5-rasm - Oddiy iteratsiya usuli: a - bir tomonlama yaqinlashish jarayoni; b - bir tomonlama uzoqlashish jarayoni; c - ikki tomonlama yaqinlashish jarayoni; g - ikki tomonlama uzoqlashish jarayoni. Eng yuqori yaqinlashish tezligi ϕ '(x) =0 bo`lganda ro`y beradi.

Agar berilgan tenglama ildizlari bir-biriga yaqin joylashgan bo`lsa, yoki funktsiya murakkab tuzilishga ega bo'lsa, u holda izolyatsiya oraliqlarini aniqlash uchun berilgan oraliqni mayda qismlarga bo'lish usulidan foydalaniladi. Dastlab, funktsiyaning chegaraviy nuqtalardagi ishoralari aniqlanadi. Keyin oraliq x = x1 , x2 ,…xn oraliq nuqtalari yordamida bo'laklarga ajratiladi. Agar ikkita qo'shni xk va xk+1 nuqtalarda f(x) funktsiya har xil ishoralarga ega ekanligi aniqlansa, ushbu oraliqda kamida bitta ildiz mavjud bo`ladi. Tanlangan oraliqda bitta ildiz borligiga ishonch hosil qilish uchun f(x) funktsiyasining hosilasi ushbu oraliqda ishorasini o'zgartirishi yoki o`zgartirmasligini tekshirish kerak. Misol. [0,4] kesmada 𝑥 2 -2=0 tenglamaning ildizlarini ajratish oraliqlarini toping. Yechish. y =𝑥 2 -2 funktsiyasining qiymatlar jadvalini tuzamiz.

Jadvaldan y(x) funktsiyaning ishorasi [1,2] kesmada o'zgaradi. Shuning uchun ildiz shu kesmada joylashgan bo`ladi. x y 0 -2 1 -1 2 2 3 7 4 14
3.Oddiy iteratsiya usuli (ketma-ket yaqinlashish usuli).
f(x)=0 tenglamadan matematik almashtirishlar yordamida x=ϕ(x) (5) shaklidagi ekvivalent tenglamani hosil qilamiz. Tenglamaning x* ildiziga x0 boshlang'ich qiymat beramiz. Uni (5) tenglamaning o'ng tomoniga qo'yib, birinchi yaqinlashuvni olamiz x1 = ϕ(x0 ), shu usul bilan navbatdagi yaqinlashishlarga o`tamiz x2=ϕ(x1 ) va hokazo: xk=ϕ(xk-1 ) (6). Ushbu iteratsiya jarayon qanday sharoitlarda transsendent tenglamaning x* ildiziga yaqinlashadi degan savol tug'iladi. Batafsil matematik tahlil shuni ko'rsatadiki, oddiy iteratsiya usulining yaqinlashishi uchun zarur bo'lgan shart quyidagicha yoziladi: ϕ '(x) <ϕ'(x)

Jadvaldan ko’rinadiki, 7- qadamdan keyin berilgan tenglamaning yechimi 0,001 aniqlikda topiladi va uning qiymati A9 katakda - 0,4178532 ga teng bo`ladi. Yuqoridagi tenglamani yechishni Mathcad dasturida qaraymiz. Buning uchun Mathcad dasturini yuklab, boshlang’ich qiymatni kiritamiz: x:=-0.25 Ikkinchi qatorga Given kalit so’zi yozilib, uchinchi qatorga quyidagi mantiqiy ifoda yoziladi: 2*x+1- sin(x2 )═0 Bunda “═” belgisi qalin shriftda yozilib, mantiqiy ifodani bildiradi va chap tomondagi ifodaning 0 ga tengligini tekshiradi. Bu belgini kiritish “Boolean” vositalar paneli yordamida yoki “ctrl+=” tugmalar majmui orqali bajariladi. Navbatdagi qatorga Find(x)= ifodasi yoziladi. Bunda “=” belgisi oddiy shriftda yoziladi va bu belgidan keyin natija xosil bo’ladi. Quyida Mathcad dasturida masalaning yechilishi berilgan:

Foydalanilgan adabiyotlar.

1. X. K. Aripov va boshqalar.”Elektronika” oliy o’quv yurtlari uchun darslik. Toshkent “Aloqachi” – 2011.

2. X. K. Aripov va boshqalar.”Raqamli mantiqiy qurilmalarni loyihalashtirish” oliy o’quv yurtlari uchun darslik. Toshkent “Aloqachi” – 2017.
3. S.S.Sadaddinova, Yu.M.Abduraxmanova, F.S.Raximova. “Diskret matimatika” o’quv qo’llanma. Toshkent 2014;
4. Дэвид М. Харрис и Сара Л. Харрис. “Цифровая схемотехника и архитектура компьютера”.