MühaziRƏ 2 XƏTTİ TƏNLİKLƏr sistemi Plan

MÜHAZİRƏ 2
XƏTTİ TƏNLİKLƏR SİSTEMİ
Plan:
1.Xətti tənliklər sistemi. Kronoker – Kapelli teoremi .Kramer düsturu
2.Bircins xətti tənliklər sistemi. Bircins və qeyri-bircins xətti tənliklər sisteminin həlləri arasında əlaqə.
3. Qauss üsulu.

1.Xətti tənliklər sistemi. Kronoker – Kapelli teoremi. Kramer düsturu.

sayda məchuldan və sayda tənlikdən ibarət xətti tənliklər sisteminin ümumi şəkli aşağıdakı kimidir:
(1)
Burada - məchullar, - əmsallar, - sərbəst hədlərdir. Əmsallardakı birinci indeks onun aid olduğu tənliyin, ikinci indeks isə onun qarşısında yerləşdiyi məchulun nömrəsini göstərir.
(1)– in hər bir tənliyi dəyişənlərinə nəzərən birdərəcəli tənlik olduğundan həmin sistem xətti sistem adlanır.
(1)– də məchullarının yerinə uyğun olaraq yazdıqda sistemin hər bir tənliyi eynilik kimi ödənilərsə, onda -ə (1) sisteminin həlli deyilir.
Əgər (1)– də -dırsa, (1) bircins sistem adlanır. sərbəst hədlərinin heç olmasa biri sıfırdan fərqli olduqda, (1)– ə qeyri – bircins xətti tənliklər sistemi deyilir.
(1)– in həlli varsa, o birgə (uyuşan) sistem, həlli yoxdursa birgə olmayan (uyuşmayan) sistem adlanır.
Əgər (1) birgə sisteminin yeganə həlli varsa, o müəyyən , əks halda isə qeyri – müəyyən sistemi adlanır. (1)-də tənliklərin sayı məchulların sayına bərabərdirsə, yəni - dirsə, onda bu sistemə kvadrat sistem deyilir.
Sistemə daxil olan məchulların əmsallarından düzəldilmiş ölçülü
(2)
matrisinə (1) sisteminin əsas matrisi deyilir.
(2)– yə sərbəst hədlərdən ibarət sütunu qoşmaqla alınan
(3)
matrisinə (1) sisteminin genişlənmiş matrisi deyilir.
Əgər kimi işarələmələr aparsaq, (1) sistemini

matris tənlik şəklində yazmaq olar.
Teorem1: (Kronoker – Kapelli teoremi) (1) sisteminin uyuşan olması üçün zəruri və kafi şərt onun matrisinin ranqı ilə genişlənmiş matrisinin ranqının bərabər olmasıdır.
sayda məchuldan və sayda tənlikdən ibarət kvadrat tənliklər sisteminə baxaq:
(4)
Fərz edək ki, (4) sisteminin
(5)
əsas matrisinin determinantı sıfırdan fərqlidir:

İsbat edək ki, (4)– ün həlli var. Göstərək ki, ədədi sistemin genişlənmiş matrisinin ranqına bərabərdir.
ölçülü - genişlənmiş matrisinin ranqı - dən böyük deyil. olmasından alınır ki, - dir. Kronoker-Kapelli teoreminə əsasən (4) sisteminin həlli var.
(4)-ün hər bir tənliyini (5)-in - ci sütun elementlərinin cəbri tamamlayıcılarına vurub, alınan nəticələri toplayaq:
(6)
Determinantın 9-cu xassəsinə əsasən (6)-dan alırıq:
(7)
- nın - ci sütun elementlərinin sərbəst hədlərindən düzəldilmiş sütunla əvəz edilməsi nəticəsində alınan determinantı ilə işarə edək. (7)– yə əsasən alırıq:

olduğuna əsasən yaza bilərik:
(8)
kəsrləri birqiymətli təyin edildiyindən həlləri (4)– ün yeganə həllidir.
(8)– ə Kramer düsturu deyilir.
Fərz edək ki, (1) birgə sistemidir və həmin sistemin əsas matrisinin ranqı -dir. Ümumiliyi pozmadan fərz edək ki, əsas matrisin bazis minoru bu matrisin yuxarı sol küncündə yerləşir (əks halda tənliklərdə və məchullarda yeni nömrələmə aparmaqla sistemi baxdığımız hala gətirə bilərik). Bu minor (1)– in ilk ardıcıl sayda məchullarının əmsallarından düzəldilən
(9)
determinantıdır.
- nın və - nın ilk sətri bu matrislərin bazis sətirlərin olduğundan, bazis minor haqqında teoremə əsasən - nın nömrəli sətrindən başlayaraq hər bir sətri bu matrisin ilk sətrinin xətti kombinasiyası şəklində göstərilir.
(1)-in - ci tənliyindən başlayaraq hər bir tənliyi ilk sayda
(10)
tənliyin xətti kombinasiyasından ibarətdir.
Əmsalları (9) – a daxil olan ilk sayda məchullarını solda saxlayıb, qalan məchulları sərbəst məchullar adlandırmaqla sağ tərəfə keçirək:
(11)
(11)–ın sağ tərəfində yerləşən sayda məchullarına ixtiyari qiymətlərini verək:
(12)
(12) kvadrat sisteminə Kramer qaydasını tətbiq etməklə, əsas məchullar üçün qiymətlərini alırıq.
Təyin etdiyimiz qiymətlər sərbəst məchullara verdiyimiz qiymətlərlə birlikdə (1)–in ( ) həlli olacaq. Sərbəst məchullara verilən qiymətlər ixtiyari olduğundan (1) sistemi sonsuz sayda həllə malikdir. Yəni (1) sistemi qeyri – müəyyəndir.
olduqda (10) sistemi məchullu sayda tənlikdən ibarət xətti tənliklər sisteminə çevrilir. Həmin sistemin tərtibli determinantı sıfırdan fərqlidir. Bu halda sistem müəyyəndir və onun yeganə həlli Kramer düsturu ilə təyin edilir. Yəni sistemin ranqı məchulların sayına bərabər olduqda (1) sistemi müəyyəndir.
İxtiyari xətti cəbri tənliklər sisteminin həllinə aid aşağıdakı ümumi qaydanı qeyd edə bilərik:
1) Sistemin əsas matrisinin və genişləndirlmiş matrisinin ranqları hesablanılır. Əgər bu matrislərin ranqları bərabərdirsə ( - ə bərabərdirsə), onda 0 – dan fərqli tərtibli minorlardan birinə, məsələn minoruna daxil olan sayda tənliyi saxlayıb,digər tənlikləri nəzərdən atırıq. olduqda, bu sistem məchullu kvadrat tənliklər sisteminə çevrilir və onun Kramer qaydası ilə yeganə həlli tapılır. оlduqda, bu sistem qeyri – müəyyəndir. Əmsalları minoruna daxil olan məchullara əsas məchul kimi baxıb, qalan sayda məchul sərbəst məchullar adlandırılaraq tənliyin sağ tərəfinə keçirilir. Kramer qaydası ilə əsas məchulların sərbəst məchullar vasitəsilə ifadəsi tapırlır (bu həllə sistemin ümumi həlli deyilir). Sərbəst məchullara ixtiyari qiymətlər verərək sistemin xüsusi həlli təyin edilir.
2) Əsas və genişlənmiş matrislərin ranqları müxtəlifdirsə, sistem birgə sistem deyil.