Mühazirə mətnləri Mövzu 1 : Ədədi ifadə. Ədədi bərabərlik və onun xassələri

Teorem 3. çoxluğunda təyin olunmuş bərabərsizlik, isə
çoxluğunda təyin olunmuş və - in bütün qiymətlərində olan ifadə olduqda, və bərabərsizlikləri, həmçinin və bərabərsizlikləri eynigüclüdür.
Nəticə.
Verilmiş bərabərsizliyinin hər iki tərəfini eyni bir ədədinə vurub, bərabərsizliyin işarəsini əksinə dəyişdikdə, verilmiş bərabərsizliklə eynigüclü olan bərabərsizliyi alınır.
Birdəyişənli xətti bərabərsizliklər sistemi dedikdə iki və daha çox xətti bərabərsizliyin ortaq həllərinin axtarılması başa düşülür. Bərabərsizliklər sistemini həll etmək məchulun sistemdəki hər bir bərabərsizliyi ödəyən bütün qiymətlərini tapmaq deməkdir.
Tutaq ki, bərabərsizliklər sistemi ( 1) şəklində verilmişdir. Əvvəlcə ( 1) sistemindəki bərabərsizliklərin hər birinin ayrılıqda həllər çoxluqları tapılır. Əgər (1) sisteminin birinci bərabərsizliyinin həllər çoxluğu isə, ikinci bərabərsizliyinin həllər çoxluğu isə, onda ( 1) sisteminin həllər çoxluğu və çoxluqlarının kəsişməsi olur. Əgər olarsa, onda deyirlər ki, ( 1) sisteminin həlli yoxdur.
Misal.
Sistemin birinci bərabərsizliyinin həllər çoxluğu , ikinci bərabərsizliyinin
həllər çoxluğu isə - dur. Onda sistemin həlli olur.


.\\\\\\\\\\\\\\\.\\\\\\˳
-9 0 3
2)
Bu bərabərsizliklər sisteminin isə həlli yoxdur. Çünki və çoxluqlarının ortaq elementləri yoxdur.
Ədəbiyyat
1. S.A.Feyziyev, R.Y.Şükürov. Riyaziyyatın ibtidai kursunun nəzəri əsasları.
Bakı 2010
2. N.A.Sadıxov . Riyaziyyatın ibtidai kursunun elmi əsasları.Bakı 1991

Mövzu 6. Təqribi ədəd anlayışı. Hesablama xətası .
Ədədlərin yuvarlaqlaşdırılması
Müxtəlif riyazi məsələlərin həlli zamanı həm dəqiq, həm də təqribi ədədlər
üzərində müəyyən riyazi əməllərin yerinə yetirilməsi zərurəti yaranır. Xüsusilə bu hal ölçmə prosesi ilə bağlı məsələlər üçün daha çox xarakterikdir. Məsələn, parçaların ölçülməsi, sahələrin ölçülməsi, cisimlərin çəkilərinin təyini və s. zamanı ölçmənin nəticəsi olan ədədlər ölçülən kəmiyyətin müəyyən xəta ilə təqribi qiymətləri olur.
Dəqiq ədəd dedikdə, kəmiyyətin doğru ( dəqiq ) ədədi qiymətini ifadə edən ədəd, təqribi ədəd dedikdə isə həqiqi qiymətə kifayət qədər yaxın olan ədəd başa düşülür. Bu halda təqribi qiymətin dəqiq qiymətə yaxınlıq dərəcəsi hesablamanın xətası ilə müəyyən edilir. Məsələn, “ kubun üzlərinin sayı 6- dır”, “ sinifdə 20 şagird var ” təkliflərində 6 ; 20 ədədləri dəqiq ədədlərdir. “ Otağın uzunu 15, 24 m – dir ”, “ kibrit qutusunun çəkisi 10 q – dır ” təkliflərində 15, 24 ; 10 ədədləri təqribi ədədlərdir. Bu zaman alınan ədədlərin təqribi olması ölçü alətlərinin mükəmməl olmaması ilə bağlıdır. Ümumiyyətlə, mütləq dəqiqi olan ölçü cihazı yoxdur. Yalnız bir ölçü cihazının dəqiqliyi digərinkindən yaxşı olan ölçü cihazları var. Yəni hər bir ölçü alətinin öz dəqiqlik dərəcəsi ( öz xətası ) var. Məsələn, üçbucağın tərəflərinin sayını göstərən 3 ədədi dəqiq, ədədinin əvəzinə götürülən 3 ədədi isə təqribi ədəd olur.
Qeyd edək ki, xətaların yaranmasının digər mənbələri də var. Məsələn, riyazi əməllərdə iştirak edən ədəd irrasional olduqda və bu ədədi onluq kəsr şəklində yazmaq lazım gəldikdə, onun üçün dəqiq qiymət tapmaq mümkün deyil. Bu halda həmin ədədi bu ədədin onluq yaxınlaşması adlanan sonlu kəsrlə əvəz etmək lazım gəlir. Bu zaman meydana gələn xətanın mənbəyi yuvarlaqlaşdırma xətası və ya hesablama xətası adlanan xəta olur.
Beləliklə, praktik məsələlərdə təqribi ədədi dedikdə dəqiq ədədindən çox az fərqlənən və hesablamalarda dəqiq ədədi əvəz edə bilən ədəd başa düşülür.
Hesablamalar zamanı ədədlərin yuvarlaqlaşdırılması, yəni ədədin bu ədədə yaxın, lakin daha az sayda onluq işarəsi olan ədədlə əvəz edilməsi zərurəti meydana çıxır.
Verilmiş ədədin onun müəyyən onluq işarəsinə qədər yuvarlaqlaşdırılması iki üsulla - əskiyi ilə yuvarlaqlaşdırma və artığı ilə yuvarlaqlaşdırma üsulları ilə yerinə yetirilə bilər :
- Ədədin müəyyən onluq işarəyə qədər əskiyi ilə yuvarlaqlaşdırılması, onun bu ədəddən həmin onluq işarədən sağdakı ədədləri atmaqla və ya onları sıfırla əvəz etməklə alınan ədədlə əvəz edilməsinə deyilir.
- Müəyyən onluq işarədən sonrakı onluq işarələri atıb, saxlanılan sonuncu onluq işarənin üzərinə 1 əlavə etməklə yuvarlaqlaşdırma isə artığı ilə yuvarlaqlaşdırma adlanır.
1)Tutaq ki, verilmiş ədəddə - dan çox sayda onluq işarələr var və - ci
onluq işarə 4- dən böyük deyil. Bu halda - ci onluq işarə də daxil olmaqla bütün sonrakı onluq işarələr atılır və sayda onluq işarə olduğu kimi saxlanılır. Məsələn, ədədini üç onluq işarə saxlamaqla yuvarlaqlaşdıraq.
2) - ci onluq işarə 5- dən böyük olduqda - cı onluq işarəyə vahid əlavə etməklə - ci və ondan sonrakı onluq işarələr atılır. Məsələn, ədədini iki onluq işarə saxlamaqla yuvarlaqlaşdıraq.
Tutaq ki, ədədin dəqiq qiyməti, isə onun təqribi qiymətidir. Əgər
olarsa, onda ədədi - in əskiyi ilə təqribi qiyməti, olduqda isə artığı ilə təqribi qiyməti adlanır. ədədinin dəqiqi qiyməti ilə təqribi qiyməti arasındakı fərqə xəta deyilir.
bərabərsizliyini ödəyən ədədinə təqribi ədədinin ən böyük mütləq xətası deyilir. Buradan olduğu görünür və bu bərabərsizliyi çox vaxt kimi yazmaq daha səmərəli hesab olunur.
Məsələn, 1) və olduqda ədədinin sərhədlərini təyin edək.


Deməli,

2) olduqda və ədədlərini təyin edək.

Mütləq xəta xətanın yalnız miqdar tərəfini əks etdirir, keyfiyyət tərəfini isə əks etdirmir. Ona görə də yerinə yetirilən hesablamanın keyfiyyətini qiymətləndirmək üçün nisbi xəta anlayışından istifadə edilir.
Tərif. Mütləq xətanın ədədin təqribi qiymətinə olan nisbəti hesablamanın nisbi xətası adlanır, yəni
və ya
Çox vaxt nisbi xətanı düsturu ilə faiz şəklində təyin edirlər.
Misal. Cismin çəkisi üçün nəticəsi alınmışdır. Nisbi xətanı tapın.

Təqribi ədədlər üzərində əməllər
Verilmiş ifadənin ədədi qiyməti üçün aşağı və yuxarı sərhəddin təyin edilməsi bu ifadənin qiymətləndirilməsi adlanır. Tərifə görə, təqribi ədədlər üzərində hesab əməllərinin yerinə yetirilməsinə verilən əsas tələb əməl komponentlərinin verilmiş xətalarına görə əməl nəticəsinin xətasının tapılması deməkdir.
1.Təqribi ədədlərin cəmi.
Tutaq ki, və ədədləri verilib. Bu da o deməkdir ki,

Bu bərabərsizlik isə onu göstərir ki, .
Qayda. Təqribi ədədlərin cəminin mütləq xətasını tapmaq üçün toplananların mütləq xətalarını toplamaq lazımdır.
Cəmin nisbi xətası üçün isə aşağıdakı təklif doğrudur : müsbət toplananların cəminin nisbi xətası toplananların nisbi xətalarının böyüyünü aşmır, yəni , olduqda , harada ki, cəminin nisbi xətasıdır.
2.Təqribi ədədlərin fərqi.

Buradan isə alırıq.