Mühazirəçi: baş müəllim G. N. Əliyeva Ədəbiyyat

Sadə irrasionallıqların inteqrallanması

I. inteqralına baxaq, burada R – öz arqumentlərinin rasional funksiyasıdır.

Tutaq ki, k ədədi kəsrlərinin ortaq məxrəcidir. əvəzləməsi aparaq. Onda x-ın hər bir kəsr üstlü qüvvəti
t-nin tam qüvvəti ilə ifadə olunar və deməli, inteqralaltı funksiya t-nin rasional funksiyasına çevrilər.

2. 
   İndi
   

şəklində inteqrala baxaq. Bu inteqral


əvəzləməsinin köməyi ilə t-nin rasional funksiyasının inteqralına gətirilir, burada k ədədi kəsrlərinin ümumi məxrəcidir.

şəklində inteqrallar

Belə inteqrallar aşağıdakı Eyler əvəzləmələrinin köməyi ilə yeni dəyişənin rasional funksiyasının inteqralına gətirilir.

1. Eylerin birinci əvəzləməsi. Əgər olarsa,

əvəzləməsini qəbul edirik. Müəyyənlik üçün -nın işarəsini müsbət götürək. Onda

olar. Buradan isə x dəyişəni t-nin rasional funksiyası kimi tapılır:

(deməli, dx də t ilə rasional şəkildə ifadə olunar). Buna görə ifadəsi t-nin rasional funksiyası olur

Beləliklə, , x və dx ifadələri t vasitəsi ilə rasional şəkildə göstərilir; deməli, verilmiş inteqral t-nin rasional funksiyasının inteqralına gətirilir.

2. Eylerin ikinci əvəzləməsi. Əgər olarsa,



əvəzləməsini aparaq. Onda (müəyyənlik üçün qarşısındakı işarəni müsbət götürək)

Buradan rasional funksiya kimi ilə ifadə olunur:

Göründüyü kimi, dx və də ilə rasional şəkildə
ifadə olunur; ona görə x, və dx-in qiymətlərini inteqralında yerinə yazaraq onu t-nin rasional funksiyasının inteqralına gətirərik.

3. Eylerin üçüncü əvəzləməsi. Tutaq ki, və həqiqi ədədləri üçhədlisinin kökləridir.

qəbul edək. olduğundan

Buradan x dəyişəni t-nin rasional funksiyası kimi ilə ifadə olunur:



dx və də ilə rasional ifadə olunduqlarından, verilmiş inteqral t-nin rasional funksiyasının inteqralına gətirilir.

Qeyd. Eylerin üçüncü əvəzləməsi yalnız olduqda deyil, olduqda da tətbiq olunur, ancaq çoxhədlisinin köklərinin həqiqi olmalıdır.

Misal 1. inteqralını hesablayın.

Həlli.

Misal 2. inteqralını hesablayın.

Həlli.





Misal 3. inteqralını hesablayın.

Həlli. əvəzləməsini aparaq.