Sadə irrasionallıqların inteqrallanması
I. inteqralına baxaq, burada R – öz arqumentlərinin rasional funksiyasıdır.
Tutaq ki, k ədədi kəsrlərinin ortaq məxrəcidir. əvəzləməsi aparaq. Onda x-ın hər bir kəsr üstlü qüvvəti
t-nin tam qüvvəti ilə ifadə olunar və deməli, inteqralaltı funksiya t-nin rasional funksiyasına çevrilər.
İndi
şəklində inteqrala baxaq. Bu inteqral
əvəzləməsinin köməyi ilə t-nin rasional funksiyasının inteqralına gətirilir, burada k ədədi kəsrlərinin ümumi məxrəcidir.
şəklində inteqrallar
Belə inteqrallar aşağıdakı Eyler əvəzləmələrinin köməyi ilə yeni dəyişənin rasional funksiyasının inteqralına gətirilir.
1. Eylerin birinci əvəzləməsi. Əgər olarsa,
əvəzləməsini qəbul edirik. Müəyyənlik üçün -nın işarəsini müsbət götürək. Onda
olar. Buradan isə x dəyişəni t-nin rasional funksiyası kimi tapılır:
(deməli, dx də t ilə rasional şəkildə ifadə olunar). Buna görə ifadəsi t-nin rasional funksiyası olur
Beləliklə, , x və dx ifadələri t vasitəsi ilə rasional şəkildə göstərilir; deməli, verilmiş inteqral t-nin rasional funksiyasının inteqralına gətirilir.
2. Eylerin ikinci əvəzləməsi. Əgər olarsa,
əvəzləməsini aparaq. Onda (müəyyənlik üçün qarşısındakı işarəni müsbət götürək)
Buradan rasional funksiya kimi ilə ifadə olunur:
Göründüyü kimi, dx və də ilə rasional şəkildə
ifadə olunur; ona görə x, və dx-in qiymətlərini inteqralında yerinə yazaraq onu t-nin rasional funksiyasının inteqralına gətirərik.
3. Eylerin üçüncü əvəzləməsi. Tutaq ki, və həqiqi ədədləri üçhədlisinin kökləridir.
qəbul edək. olduğundan
Buradan x dəyişəni t-nin rasional funksiyası kimi ilə ifadə olunur:
dx və də ilə rasional ifadə olunduqlarından, verilmiş inteqral t-nin rasional funksiyasının inteqralına gətirilir.
Qeyd. Eylerin üçüncü əvəzləməsi yalnız olduqda deyil, olduqda da tətbiq olunur, ancaq çoxhədlisinin köklərinin həqiqi olmalıdır.
Misal 1. inteqralını hesablayın.
Həlli.![](data:image/png;base64,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)
Misal 2. inteqralını hesablayın.
Həlli.
Misal 3. inteqralını hesablayın.
Həlli. əvəzləməsini aparaq.
Dostları ilə paylaş: |