Mühazirələr Orta Ixtisas Təhsil müəssisələrində fənnin tədrisi üçün nəzərdə tutulub

M  x x  N , x  10_,

M  0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
Bu 10-dan kiçik olan

natural ədədlər çoxluğudur.

^{M  x x  N , x  10}. Sonsuz çoxluğu işarə edərkən

onun bütün elementlərinin elə xassəsi göstərilir ki, verilmiş elementin həmin çoxluğa daxil olub-olmadığını birqiymətli söyləmək mümkün olur, yəni çoxluğun elementlərinin

mühüm və ümumi xarakteristik xassələri ğöstərilir. Məsələn: A -yəni

3-ə bölünən natural ədədlər çoxluğu. Ola bilər ki, çoxluğun heç bir elementi olmasın.

Məsələn: x²

tənliyinin həqiqi kökləri çoxluğuna heç bir ədəd daxil deyil. Heç bir

elementi olmayan çoxluq boş çoxluq adlanır və adətə ə işarə edilir. Boş çoxluğun elemntlərinin sayı sıfra bərabərdir.

Yuxarıda demişdik ki, çoxluqların elementləri müxtəlif əşyalar ola bilər. Riyaziyyatda elə çoxluqlar vardır ki, onların elementləri yalnız ədədlərdən ibarətdir.

Tərif. Elementləri ədədlərdən ibarət olan çoxluqlara ədədi çoxluqlar deyilir. Ədədi çoxluqlar da həm sonlu, həm də sonsuz ola bilər.

Bəzi ədədi çoxluqları işarə etmək üçün xüsusi hərflərdən istifadə olunur. Məsələn, natural ədədlər çoxluğu N ənfi olmayan bütün tam ədədlər çoxluğu - N

ədədlər çoxluğu Z

ədədlər çoxluğu Q, həqiqi ədədlər çoxluğu R ilə işarə edilir.

Tərif. Fərz edək ki, iki A və B çoxluqları verilmişdir. Əgər A çoxluğunun hər bir elementi B çoxluğunun da elementi olarsa, onda A çoxluğuna B çoxluğunun alt çoxluğu deyilir. Çoxluqlar arasında bu münasibət A  B şəklində yazılır və belə oxunur: “A B-yə daxildir” və ya “A B-nin alt çoxluğudur”. Bəzən A  B əvəzinə B  A kimi yazılışdan da istifadə olunur, yəni B çoxluğu A çoxluğunu özündə saxlayır. Alt çoxluğun tərifindən görünür ki, hər bir çoxluq özünün alt çoxluğudur, yəni: A  A və ya A  A . Tərifə əsasən istənilən boş olmayan A çoxluğunun həmişə ən azı iki alt çoxluğu vardır. A və çoxluq. Bu çoxluqlar A çoxluğunun qeyri-məxsusi alt çoxluqları adlandırılır. A çoxluğunun -dan və A-nın özündən fərqli, istənilən M altçoxluğuna A çoxluğunun məxsusi alt çoxluğu və ya düzgün hissəsi deyilir.

Məsələn: A = {a,b,c,d}, B = {a,b,c,d,f,k} çoxluqları verilmişdir. Göründüyü kimi A çoxluğunun bütün elementləri B çoxluğunda vardır. Onda A  B şəklində yazılır. Bu halda A çoxluğu B-nin məxsusi alt çoxluğu adlanır. Verilən tərifə əsasən A = {a,b,c} çoxluğunun məxsusi alt çoxluqları bunlardır: {a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c}. A çoxluğunun qeyri-məxsusi alt çoxluqları isə {a,b,c} və çoxluqlarıdır.

Tərif.A  B və B  A şərtlərini ödəyən çoxluqlara bərabər çoxluqlar deyilir və A = B

şəklində yazılır. Məsələn:

1) A = {- 2,10} çoxluğu ilə (x + 2)(x -10) = 0 tənliyinin kökləri çoxluğu bərabər çoxluqlardır. 2) A = {a,b,c, d} və B = {c,d, a,b} çoxluqlarına baxaq. Göründüyü kimi, A  B və B  A. Deməli, A = B .

3) A ilə x 2 + 4 = 0 tənliyinin həqiqi kökləri çoxluğunu, B ilə x 2 - 3 = 0 tənliyinin rasional kökləri çoxluğunu işarə edək. Aydındır ki, bu halda A = B (A = , B = ).

Çoxluqların bərabərliyinin aşağıdakı xassələri vardır:

1. 
   Refleksivlik xassəsi: A = A .
   
2. 
   Simmetriklik xassəsi: A = B olarsa, B = A olur.
   
3. 
   Tranzitivlik xassəsi: A=B və B=C olarsa, A = C olur.
   

Bəzi hallarda eyni bir çoxluğun alt çoxluqları nəzərdən keçirilir.Bu halda həmin çoxluğa universal çoxluq deyilir və J ilə işarə edilir. Məsələn: Bir universitetin bütün tələbələri çoxluğu universal çoxluq qəbul edilə bilər, çünki həmin universitetdə təhsil alan bütün fakültələrin tələbələri çoxluğu universitetin bütün tələbələri çoxluğunun (J) alt çoxluqlarıdır.

Çoxluqlar arasındakı münasibəti əyani şəkildə təsvir etmək üçün Eyler-Venn diaqramlarından istifadə edilir [Eyler (1707-1783) İsveç riyaziyyatçisi, Peterburq EA-nın üzvü, Djon-Venn (1834-1923) ingilis riyaziyyatçısı].Eyler əyani olaraq hər bir çoxluğu dairə şəklində təsvir etməyi təklif etmişdir (bu zaman dairənin ölçüləri və vəziyyəti nəzərə alınmır). Əgər A çoxluğu B çoxluğunun hissəsidirsə, onda A–nı ifadə edən dairə B-ni ifadə edən dairənin içərisində yerləşdirilir .

Qeyd edək ki, əgər hər hansı iki çoxluğun ortaq elementləri vardırsa və onların heç biri digərinin hissəsi deyilsə, onda bu çoxluqlara uyğun Eyler dairələrinin bir-birini örtən müəyyən hissələri vardır (Şəkil 2).Qeyd edək ki, Eyler- Venn diaqramlarında çoxluqların həmişə dairə şəklində təsvir edilməsi vacib deyil. Dairə əvəzinə istənilən fiqur (müstəvi), məsələn, kvadrat, romb, yarımdairə və s. götürmək olar.

Şəkil 2.