Mühazirələr Orta Ixtisas Təhsil müəssisələrində fənnin tədrisi üçün nəzərdə tutulub
Mövzu 7. Natural ədəd anlayışının yaranması. MOTƏ çoxluğunun aksiomatik qurulması. Peano aksiomları
Yüklə 409,43 Kb.
|
Mövzu 7. Natural ədəd anlayışının yaranması. MOTƏ çoxluğunun aksiomatik qurulması. Peano aksiomları.Plan Natural ədəd anlayışının yaranması. Aksiomatik sistem nədir? Peano aksiomları. Ədəd haqqında təlim müasir riyaziyyatın ən mühüm bölmələrindən biridir. Ədədlər arasındakı münasibətləri və hesab əməlləri xassələrini öyrənmək üçün təkcə konkret ədədlərdən deyil, hərdən simvolikalardan da istifadə olunur. Riyaziyyatda kəmiyyətlər və onların ölçülməsi mühüm yer tutur. İnsanlar həyatda, əmək fəaliyyətində həmişə sayına, hesablama və ölçmə ilə məşğul olmuşlar. Saymanın, ölçmənin və hesablamanın nəticəsi ədədlə ifadə olunur. Əlbəttə, insanlar ədəd anlayışına gəlib çatana qədər çox uzun yol keçmişlər. Sayma vasitəsi olaraq iki əl, iki ayaq, əl barmaqları, ayaq barmaqları, dörd barmaqda olan oynaqların sayı və s. istifadə etmişlər. Sayma prosesi mürəkkəbləşdikcə əl və ayaq barmaqları insanların tələbatı ödənmirdi. Ona görə vəziyyətdən çıxmaq üçün əldə düzəldilən və ya təbii sayma vasitələrindən istifadə edirdilər. İnsanlar fəaliyyətlərində müxtəlif çoxluqlardan istifadə etmişlər. Burada çoxluqların keyfiyyəti yox, miqdarı münasibətlər (xassələri) əsas götürülmüşdür. Elementlərinin sayı eyni olan çoxluqlar bir sinfə daxil edilmişdir. Çoxluqların miqdarı xarakteriatiksı haqqında təsəvvürlərin yaranmasında çoxluqlar ilə əl barmaqları arasında qarşılıqlı birqiymətli uyğunluq yaradılmışdır. Tədricən natural ədəd anlayışı meydana gəlmişdir. Natural ədəd anlayışı riyaziyyatın əsas anlayışlarından biridir. Sayarkən istifadə etdiyimiz ədədlərə natural ədədlər deyilir. Hər bir natural ədəd müəyyən çoxluğun elementlərinin miqdarını xarakterizə edir. Eyni miqdarda elementləri olan istənilən çoxluqlar eyni natural ədədlə xarakterizə olunur. Bir elementdən ibarət olan bütün çoxluqlara “vahid” (bir) adlanan natural ədədi uyğun qoymaq olar. İki elementdən ibarət olan bütün çoxluqlara “iki” ədədi adlanan başqa bir natural ədədi uyğun qoymaq olar. Belə uyğunluğun düzəldilməsini davam etdirərək aşağıdakı xassələrə malik olan bütün natural ədədləri almaq olar: a) natural ədədlər sonsuzdur; b) bütün natural ədədlər vahiddən başlayaraq biri digərinin ardınca düzülür. Natural ədədlər çoxluğu natural ədədlər sırasını əmələ gətirir: birinci ədəd-vahidi (bir), ikinci ədəd-iki, üçüncü ədəd-üç və s.; aşağıdakı kimi yazılır: N 1,2,3,4,5,6,. Hər bir natural ədədin bu sırada öz yeri vardır. Onlar 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 rəqəmlərinin köməyi ilə yazılır. Natrural ədədlər sırası verildikdə iki natural ədəddən hansının böyük olduğunu müəyyən etmək olar: natural ədədlər sırasında başlanğıcdan (sıfırdan) uzaqda duran ədəd böyük, başlanğıca (sıfıra) yaxın olan ədəd kiçikdir: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,... sırasında 7 və 8-i müqayisə etsək 7 vahidə yaxın, 8 isə ondan 7-yə nəzərən uzaqdadır. Ona görə 7<8 alırıq.
Bu tərif natural ədədlə sonlu çoxluğun elementləri sayı arasındakı münasibəti ifadə edir.Tərifdən aydın olur ki, hər bir eyni bir güclü çoxluqlar sinfinə bir natural ədəd və tərsinə hər bir natural ədədə qarşı bir eynigüclü çoxluqlar sinfi uyğun gəlir. 1,2,3,...,n,... ədədlər sırasına natural ədədlər deyilir. Onluq say sistemində on işarədən istifadə edilir ki, bunlarada rəqəmlər deyilir. Bütün natural ədədlər çoxluğu bu işarələr vasitəsilə yazılır. Sıfır natural ədəd hesab olunmur. Sıfır boş çoxluqda elementlərin miqdarını xarakterizə edən ədəd kimi daxil edilir. Sıfır bütün natural ədədlərdən əvvəl gələn ədəd hesab edilir və 0 (sıfır) ilə işarə olunur. 0 (sıfır) ədədinin natural ədədlər çoxluğu ilə birləşməsi genişlənmiş natural sıra əmələ gətirir. Hər hansı bir A təklifinin doğruluğunu hesablayarkən, bundan əvvəl isbat edilmiş əvvəlki təkliflərə əsaslanılır. Bu qayda ilə ilk əvvəl isbat edilmiş təklifi müəyyənləşdirmək isə qeyri mümkündür. Bu proses heç vaxt sona yetməz. Analoji olaraq hər hansı təklifə tərif vermək üçün bundan əvvəl tərif verilmiş anlayışa əsaslanmaq lazımdır. Əgər prosesi bu qayda ilə davam etdirsək ilk əvvəl tərif verilmiş anlayışı tapa bilmərik. Ona görə ilk dəfə tərif verə bilmədiyimiz anlayışları riyaziyyatda ilk anlayış adı verib bundan sonra gələn riyazi anlayışlara ilk anlayışlar vasitəsilə tərif veririk. Məsələn, ədəd, müstəvi, nöqtə, kəmiyyət və s. İsbatsız qəbul edilmiş bütün anlayışlar və təkliflər birlikdə aksiomlar sistemi adlanır. MOTƏ hesabıda aksiomlar sisteminə əsasən qurulur. Belə ki, ilkin olaraq riyaziyyatda söz seçilir (ad qoyulur) bu sözlərə uyğun işarələr verilir ki, bu işarələr rəqəm adlanır. Rəqəmlər isə 10- dur (1,2,...,0). Rəqəmlər əsasında ədədlər yazılır: 0,1,2,3,...,n,... Bu ədədlərə də tərif verilmir. Lakin MOTƏ hesabında ədədlər üzərində əməllər aparılan zaman onlara tərif verilə bilər. Beləliklə də hər hansı riyazi nəzəriyyənin ciddi məntiqi şəkildə qurulmasına aşağıdakı kimi yanaşılmalıdır. Bu nəzəriyyənin tərifsiz qəbul edilən anlayışlarını, yəni əsas anlayışlar obyektini ayırmışlar. Həmin obyektlərin isbatsız qəbul edilən xassələrini ayırmışlar (aksiomlar). Qalan bütün obyektlərin tərifləri əsas anlayışlar üzərində qurulmalı, xassələri isə aksiomlara əsasən ciddi məntiqi şəkildə isbat olunmalıdır. Hər hansı riyazi nəzəriyyənin bu metodla qurulmasına riyaziyyatda aksiomatik metod deyilir. Nəzəri hesabın aksiomatikasında əsas anlayışlar aşağıdakılar götürülmüşdür. Əsas obyektlər- natural ədəd, vahid. Natural ədədlər arasındakı münasibət- bilavasitə əvvəl gəlir, bilavasitə sonra gəlir. İstər natural, istərsə də MOTƏ üzərində hesab əməllərini, onların xassələrini və bu xassələrdən çıxan nəticələri nəzəri cəhətdən əsaslandırmaq üçün hesab aksiomaları tərtib etmək zərurəti qarşıya çıxır. Natural ədədlər hesabının aksiomaları italyan riyaziyyatçısı D.Peano (1858- 1932) tərəfindən verilmişdir. Тərif. Natural ədədlər böş olmayan elə N çoxluğunun elementlərinə deyilir ki, onun ixtiyari a və b elementləri üçün “b elementi a-dan bilavasitə sonra gəlir” münasibəti təyin edilib və aşağıdakı aksiomlar ödənilir: Vahid bilavasitə heç bir natural ədəddən sonra gəlməyən natural ədəddir. a natural ədədi neçə olursa olsun, bilavasitə ondan sonra gələn yeganə a / ədədi vardır. Vahiddən fərqli a natural ədədi neçə olursa olsun həmişə elə bir yeganə c ədədi vardır ki, a bilavasitə ondan sonra gəlir. Əgər hər hansı natural ədədlər çoxluğu M aşağıdakı iki xassəyə malikdirsə; vahid ona daxildir; hər hansı a ədədi ona daxil olmaqla bilavasitə ondan sonra gələn a / ona daxildirsə, onda M çoxluğu bütün natural ədədlər çoxluğudur- N-dir. ədədidə
N 1,2,3,..., n,... Bu dörd aksiom olub “Peano aksiomları” adlanır. Bilirik ki, hər bir boş çoxluğu xarakterizə edən ədədə “sıfır” ədədi deyilir. Sıfır bütün natural ədədlərdən əvvəl gəldiyinə görə, hər bir natural ədəddən kiçikdir. Ona görə Peano aksiomları MOTƏ çoxluğunun da əsasını təşkir edir. Fərq odur ki, bu sırada birinci ədəd sıfırdır. Qalan bütün əlamətlər MOTƏ çoxluğunda saxlanılır. MOTƏ çoxluğunda Peano aksiomları aşağıdakı kimidir. Sıfır bilavasitə heç bir MOTƏ-dən sonra gəlməyən MOTƏ- dir. Mənfi olmayan a tam ədədi üçün həmişə bilavasitə ondan sonra gələn yeganə a / mənfi olmayan tam ədədi vardır. Sıfırdan fərqli mənfi olmayan a / 0 tam ədədi üçün həmişə ondan bilavasitə əvvəl gələn yeganə a mənfi olmayan tam ədədi vardır. Əgər hər hansı mənfi olmayan tam ədədlər çoxluğu iki xassəyə malikdirsə; sıfırı öz daxilinə alır; hər hansı mənfi olmayan a tam ədədini daxilinə almasından, a-dan bilavasitə Yüklə 409,43 Kb. Dostları ilə paylaş:
|