Mühazirələr Orta Ixtisas Təhsil müəssisələrində fənnin tədrisi üçün nəzərdə tutulub

Yerdəyişmə (kommutativlik) xassəsi. Toplananların yerini dəyişdikdə cəm dəyişmir. İxtiyari və mənfi olmayan tam ədədləri üçün bərabərliyi doğrudur.

Tutaq ki, ədədi A çoxluğunun, ədədi B çoxluğunun elementlərinin sayıdır və

Onda ( ) Çoxluqların birləşməsi kommutativlik xassəsinə tabe olduğundan n( ) ^{( )} və deməli, olar.

2. 
   Qruplaşdırma ( assosiativlik) xassəsi. Toplananların hər hansı bir qrupunu onların cəmi ilə əvəz etdikdə cəm dəyişmir. İxtiyari mənfi olmayan tam ədədləri üçün ( ) ( ) bərabərliyi doğrudur.
   

Tutaq ki, ^{( ) ( ) ( )} . Onda iki ədədin cəminə görə

( ) ( ) ( ) (( ) ) kimi yazmaq olar. Çoxluqların birləşməsi assosiativlik xassəsinə tabe olduğundan

(^{( )} ) ( ^{( )}) deməli, ( ) ( ) olar.

3. 
   Tərif. Cəm və məlum toplanana görə digər toplananın tapılması əməlinə çıxma əməli deyilir.
   

ədədindən ədədini çıxmaq elə bir ədədi tapmaq deməkdir ki, c ədədini b ədədinə əlavə etdikdə ədədini almaq mümkün olsun . Deməli, a-b dedikdə, elə c ədədi başa düşülür ki, olur və belə yazılır . Burada -azalan, b- çıxılan, c fərq adlanır. Fərq çıxma əməlinin nəticəsidir. Çıxma əməlinin doğruluğu toplama əməli vasitəsilə yoxlanılır. “-” minus və “+” plyus işarələri XV yüzillikdə Leanardo da Vinçinin (İtaliya) və Vidneanın (Almaniya) əsərlərində göstərilmişdir.

Toplama və çıxma əks əməllərdir. Belə ki, toplamada toplananlar vasitəsilə cəm tapılır, çıxmada isə cəm və toplananlardan biri verildikdə o biri toplanan tapılır. Bunu coxluqlar üzərində isbat edək:

Tutaq ki, { } { } çoxluqları verilmişdir. B A çoxluğunun alt çoxluğudur. A çoxluğunun elementləri miqdarı 7, B çoxluğunun elementləri miqdarı isə 4 olsun. Yəni, ( ) ( ) və B A olduqda ( )

( ) ( ) fərqini alırıq.

Fərq anlayışını daxil edərkən şərti əhəmiyyətli rol oynayır. Doğrudan da,

münasibətindən ( ) ( ) münasibəti çıxır. Bu da o deməkdir ki,

^{( ) ( )} olduqda fərqi onda və yalnız onda olur ki, olsun.

Çıxma əməlinin aşağıdakı xassələri vardır:

1. 
   xassə. Ədəddən iki ədədin cəmini çıxmaq üçün əvvəl bu ədəddən birinci toplananı çıxmaq, sonra isə alınmış fərqdən ikinci toplananı çıxmaq və s. lazımdır: İstənilən m ,n və p mənfi olmayan tam ədədləri üçün ( ) ( ) bərabərliyi doğrudur.
   
2. 
   xassə. İki ədədin cəmindən ədədi çıxmaq üçün bu ədədi toplananların birindən çıxıb, fərqi o biri toplanana əlavə etmək lazımdır: İstənilən m və n mənfi olmayan tam ədədləri üçün ( ) ( ) ( ) bərabərliyi doğrudur.
   

4. 
   Mənfi olmayan tam ədədlərin hasili anlayışını təyin etməyin müxtəlif üsulları var. Əsasında cəm anlayışı duran yanaşma üsuluna baxaq. Bu üsulda hasil anlayışı ilə cəm anlayışı arasındakı məntiqi əlaqə daha aşkar olduğundan, hasil anlayışının cəm anlayışı vasitəsilə təyin edilməsi məntiqi alınma qaydasına əsaslanır.
   

Tərif. Sonlu sayda bərabər toplananların cəminin tapılması əməlinə vurma əməli deyilir. Məsələn,

⏟

Hər biri -ya bərabər olan b sayda bərabər toplananlar cəminə və ədədlərinin hasili deyilir və ٠ kimi işarə edilir. Burada a və b vuruqlar, c hasil adlanır. Vurma əməlinin nəticəsi hasildir. Vurma əməli toplama əməlinin xüsusi halıdır. Nəzəri-çoxluq anlayışına istinad etməklə mənfi olmayan tam ədədlərin vurulması əməlinin sonlu

çoxluqların Dekart hasili ilə bağlı olması aşkardır.

Tutaq ki. A və B verilmiş sonlu çoxluqlardır: A ^{{ } { }}. Bu çoxluqların Dekart hasilini tapaq.

^{{( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) } ( ) ( )} ( )

Digər tərəfdən ( ) ( ) olduğundan ( ) ٠ olar deməli, A və B çoxluqlarının Dekart hasilindəki elementlərin sayı ( ) ٠ ( ) hasilinə bərabər olar. Beləliklə, ( ) ( ) ( )

Vurma əməlinin aşağıdakı xassələri vardır.

1.