Multiplikativ törəmə isə həmin səhifədə

2.3. İkinci tərtib kəsilməz multiplikativ törəmənin kəsilməz additiv törəməsindən alınan üçüncü tərtib diferensial tənlik üçün məsələlərin həlli

Aşağıdakı kimi tənliyə baxaq

(2.3.1)
burada f(t) verilmiş kəsilməz funksiya, D_t – kəsilməz multiplikativ törəmə, ştrix isə kəsilməz additiv törəmədir.
Bu tənliyi (0, t)-də additiv inteqrallasaq:
(2.3.2)
ifadəsini almış olarıq. Burada C₀ ixtiyari sabitdir. 
İndi isə (1.3.1) tənliyinin (1.3.7) ümumi həllindən istifadə etməklə (2.3.2) tənliyinin ümumi həlli üçün alarıq:
(2.3.3)
ifadəsini almış oluruq. Burada C₀, C₁ və C₂ ixtiyari sabitlərdir. Yuxarıdakı (2.3.1) tənliyi üçün aşağıdakı kimi başlanğıc şərtləri verək:
(2.3.4)
Ümumi (2.3.3) həllinə daxil olan ixtiyari sabitləri verilmiş (2.3.4) başlanğıc şərtlərindən təyin edək. Bunun üçün aşağıdakı törəmələri hesablayaq:


bu isə (2.3.2) ifadəsidir. Verilmiş (2.3.4) şərtlərini nəzərə alsaq:



ifadələrini nəzərə almaqla (2.3.3)-dən (2.3.1), (2.3.4) Koşi məsələsinin həlli üçün alarıq:
(2.3.5)
İndi isə (2.3.1) tənliyi üçün aşağıdakı kimi sərhəd məsələsinə baxaq: ,
(2.3.6)
burada α, β və γ verilmiş sabitlərdir.
Verilmiş (2.3.1) tənliyinə də baxmaqla bu tənliyin ümumi həlli üçün aldığımız (2.3.3) ifadəsindəki ixtiyari sabitləri verilmiş (2.3.4) sərhəd şərtlərinin köməyi ilə təyin edək.


olduğundan (2.3.3)-dən alarıq:
(2.3.7)
Nəhayət (2.3.7) də olan C₂ sabitini (2.3.6) şərtlərinin üçüncüsündən istifadə etməklə, tapmalıyıq:

buradan da

olduğu alınır. Ona görə də (2.3.1), (2.3.6) sərhəd məsələsinin həlli üçün alarıq:

(2.3.8)
Teorem. Verilmiş üçüncü tərtib kəsilməz törəməli (2.3.1) tənliyi üçün olduqda (2.3.4) başlanğıc şərtləri daxilində Koşi məsələsinin həlli (2.3.5) şəklindədir, belə ki, α₀, α₁ və α₂ verilmiş sabitlər, f(t) isə kəsilməz funksiyadır,  olduqda (2.3.1) tənliyi üçün (2.3.6) sərhəd şərtləri daxilində məsələnin həlli isə (2.3.8) şəklindədir, belə ki α, β və γ verilmiş sabitlər f(t) isə kəsilməz funksiyadır.
Eyni qayda ilə kəsilməz additiv törəmənin ikinci tərtib kəsilməz multiplikativ törəməsindən alınan üçüncü tərtib tənlik üçün Koşi və sərhəd məsələlərinə baxmaq olar.