Multiplikativ törəmə isə həmin səhifədə

3.3. İki dəyişənli ikinci tərtib kəsilməz multiplikativ törəməli diferensial tənlik üçün məsələlərin həllinin araşdırılması

Burada iki dəyişəndən asılı olan xüsusi törəməli ikinci tərtib kəsilməz multiplikativ törəməli diferensial tənlik üçün məsələlərə baxılacaqdır.

Aşağıdakı kimi tənliyə baxaq:
(3.3.1)
burada f(x,y) verilmiş kəsilməz funksiyadır. Əgər
(3.3.2)
əvəzləməsi aparsaq, (3.3.1) tənliyi
(3.3.3)
şəklinə düşmüş olar. Multiplikativ törəmənin tərifindən istifadə etsək, (3.3.3) tənliyi aşağıdakı kimi yazıla bilər:

və ya
(3.3.4)

Aldığımız (3.3.4) kəsilməz additiv törəməli diferensial tənlik olduğundan, onu inteqrallasaq alarıq:

və ya
(3.3.5)
burada C₁(x) – ixtiyari funksiyadır.
Aldığımız (3.3.5) ifadəsini (3.3.2) də nəzərə almaqla bu tənliyi aşağıdakı şəkildə yaza bilərik:

və yaxud

Bu ifadəni inteqrallasaq:

yaxud da
(3.3.6)

Beləliklə (3.3.1) tənliyinin ümumi həlli üçün (3.3.6) ifadəsini almış oluruq, belə ki C₁(ζ) və C₁(y) ixtiyari funksiyalardır.

İndi isə (3.3.1) tənliyi üçün aşağıdakı kimi başlanğıc şərtləri verək:
(3.3.7)
burada φ(y) və ψ(x) verilmiş kəsilməz funksiyalardır.
Verilmiş (3.3.1) tənliyi üçün aldığımız (3.3.6) ümumi həllinə daxil olan C₁(x) və C₂(y) ixtiyari funksiyalarını verilmiş (3.3.7) başlanğıc şərtlərindən istifadə etməklə tapmalıyıq. Ümumi həllin ifadəsindən göründüyü kimi
(3.3.8)

burada (3.3.9)-i nəzərə almaqla
(3.3.9)
Beləliklə (3.3.1), (3.3.7) Koşi məsələsinin həlli üçün (3.3.8) və (3.3.9)-u (3.3.6) da nəzərə almaqla aşağıdakı ifadəni almış olarıq:
(3.3.10)
Asanlıqla görünür ki, (3.3.10) ifadəsi (3.3.7) başlanğıc şərtlərindən birincisini ödəyir.

ifadəsindən görünür ki, (3.3.10) ikinci başlanğıc şərtini də ödəyir.
İndi isə göstərək ki, (3.3.10) ifadəsi (3.3.1) tənliyini ödəyir.

ifadəsi göstərir ki, (3.3.10) ifadəsi (3.3.1) tənliyini də ödəyir.

İndi isə (3.3.1) tənliyin  də baxmaqla bu tənlik üçün aşağıdakı kimi sərhəd şərtlərinə baxaq:
(3.11)

burada  , , və verilmiş kəsilməz funksiyalardır.

Verilmiş (3.3.1) tənliyinin ümumi həlli üçün aldığımız (3.3.6) ifadəsindəki C₁(x) və C₂(y) ixtiyari funksiyalarını (3.3.11) sərhəd şərtlərinin köməyi ilə təyin etməliyik:

buradan
(3.12)
əgər
(3.13)

şərti ödənilirsə,

və ya

yaxud da
(3.14)

əgər 
(3.15)

şərti ödənilirsə.

Beləliklə  də baxılan (3.3.1) tənliyi üçün (3.3.11) sərhəd şərtləri daxilində məsələnin həlli üçün

(3.16)
ifadəsi alınmış olur, əgər
(3.17)

və
(3.18)

şərti ödənilirsə.
Teorem. Əgər (3.3.1), (3.3.7) Koşi məsələsində , və kəsilməz funksiyalardırsa, onda bu Koşi məsələsinin həlli (3.3.10) vasitəsi ilə verilir, (3.3.1), (.3.3.11) sərhəd məsələsinin həlli isə  , və verilmiş kəsilməz funksiyalar olub, (3.3.17) və (3.3.18) şərtləri ödənilirsə, bu sərhəd məsələsinin həlli (3.3.16) vasitə ilə verilmiş olur.
Eyni qayda ilə birinci arqumentə nəzərən ikinci tərtib kəsilməz additiv törəmənin, ikinci arqumentə nəzərən kəsilməz poverativ törəməsindən alınan üçüncü tərtib diferensial tənlik üçün məsələlər də araşdırılır.