Multiplikativ törəmə isə həmin səhifədə

1.3. İkinci tərtib kəsilməz multiplikativ törəməli tənlik üçün Koşi və sərhəd məsələsinin həlli

Məlumdur ki, kəsilməz halda multiplikativ inteqral 1887-ci ildə Voltera tərəfindən verilmişdir [95], sonralar 1937-ci ildə Birkhoff tərəfindən daha ümumi şərtlər daxilində (geniş oblastlar üçün) təyin edilmişdir. [96]

Qantmaxerin “Matrislər nəzəriyyəsi” kitabında bu inteqral aşağıdakı şəkildə verilmişdir. (səh. 434, formula (50)): 
.
multiplikativ törəmə isə həmin səhifədə
,
şəkildə verilmişdir. Qeyd edirik ki,
və
qarşılıqlı tərs əməllərdir.
İndi biz aşağıdakı kimi kəsilməz halda ikinci tərtib multiplikativ törəməli diferensial tənlik üçün məsələlərə baxaq:
(1.3.1)
tərifdən istifadə etsək,
(1.3.2)
əvəzləməsindən sonra
(1.3.3)
tənliyini almış olarıq.
Bu tənliyə isə
(1.3.4)
şəklində yaza bilərik. Burada törəmə artıq kəsilməz additivdir. Onda (1.3.4)-ü inteqrallasaq:

və ya
(1.3.5)
ifadələrini almış olarıq. Burada C₁ ixtiyari sabirdir.
İndi isə (1.3.2)-yə qayıtsaq, onu tərifə əsasən
(1.3.6)
şəklinə salmış olarıq.
Aldığımız (1.3.6)-nın hər iki tərəfini additiv inteqrallasaq:

yaxud da
(1.3.7)
ifadəsini almış olarıq. Beləliklə ikinci tərtib kəsilməz multiplikativ törəməli (1.3.1) tənliyinin ümumi həlli üçün iki ixtiyarı C₁, C₂ sabitlərindən asılı olan (1.3.7) ifadəsini almış oluruq.
İndi (1.3.1) tənliyi üçün Koşi məsələsinə baxaq:
(1.3.8)
Onda (1.3.2)-dən göründüyü kimi

olduğundan, (1.3.5)-dən

olduğunu alarıq. Onda (1.3.7)-dən alınan
(1.3.9)
ifadəsində t = 0 götürsək,

olduğunu alarıq. Bu ifadəni (1.3.9)-da nəzərə almaqla (1.3.1), (1.3.8) Koşi məsələsinin həlli üçün
(1.3.10)
ifadəsini almış oluruq

buradan da

ikinci başlanğıc şərtin ödənildiyi görünür. Nəhayət

olduğundan (1.3.1) tənliyi ödənilir.
İndi isə (1.3.1) tənliyini  də baxıb aşağıdakı kimi sərhəd şərtləri verək:
(1.3.11)
Yenə də (1.3.1) tənliyinin (1.3.7) ümumi həllinə qayıdıb, orada olan ixtiyari C₁ və C₂ sabitlərini (1.3.11) sərhəd şərtlərindən təyin edək.

olduğu alınır. Onda (1.3.7) aşağıdakı şəklə düşər:
(1.3.12)
Bu ifadənin multiplikativ törəməsini təyin edək:

buradan da

olduğundan (1.3.12)-dən (1.3.1), (1.3.11) sərhəd məsələsinin həlli üçün
(1.3.12)
ifadəsi alınmış olar.
Teorem. İkinci tərtib kəsilməz multiplikativ törəməli (1.3.1) tənliyi üçün (1.3.8) başlanğıc şərtləri daxilində Koşi məsələsinin həlli (1.3.10) şəklində (1.3.11) sərhəd şərtləri daxilində məsələnin həlli isə (1.3.13) şəklindədir. Burada f(t) kəsilməz funksiya, α və β isə verilmiş sabitlərdir.
Eyni qayda ilə üçüncü tərtib kəsilməz multiplikativ törəməli diferensial tənlik üçün də Koşi və sərhəd məsələsinə baxmaq olar.