Mundarija Kirish Asosiy qism Eyler Burchaklari. Harakat va affin transformatsiyasini aniqlash fazolar va bo'shliqlar. Affinda vektorlarning o'zgarishi fazo o'zgartirish. Asosiy affin o'zgarishlarning xususiyatlari
Yüklə 88,53 Kb.
|
|
Eyler burchaklar.
Bunday aylanishlar komutativ emas va harakatlanuvchi koordinatalar sistemaning yakuniy holati aylanishlar tartibiga bog'liq. Agar harakatlanuvchi koordinata sistemadagi ) vektorlarining koordinatalari ma'lum bo'lsa va harakatlanuvchi koordinatalar tizimining ni koordinatalar sistemaga nisbatan burchaklari ma'lum bo'lsa, ning koordinatalar sistemadagi bu vektorning koordinatalarini hisoblash mumkin. Buning uchun va burchaklari bo'yicha uchta ketma-ket aylanadigan matritsalarni tuzing: Ushbu matritsalarni teskari tartibda ko'paytirsak, natijada ortogonal matritsani olamiz: ,harakatlanuvchi koordinata tizimining ) ( )vektor koordinatalarini koordinatalar sistemasida bir xil uzunlikdagi vektorning koordinatalariga aylantiruvchi: , bu erda va mos keladigan koordinatalarning matritsa ustunlari. Eyler burchaklar aylanadigan narsalarning turli xil operatsiyalarini bajarishda eng tabiiy va tushunarli, chunki ular uch o'lchovli grafik tizimlarning ko'rinishlarida kuzatiladigan ob'ektning aylanishiga to'g'ri keladi. Biroq, ularni kompyuter animatsion sistemalarida qo'llash bir qator qiyinchiliklarga duch keladi. Avvalo, bu koordinata tizimining o'qlariga nisbatan ob'ektni aylanishning ma'lum bir ketma-ketligini tanlash zarurati. Agar siz ob'ektni avval o'qi atrofida, keyin o'qi atrofida va nihoyat o'qi atrofida aylantirsangiz, u holda ushbu ob'ektni bir xil burchaklarda, lekin boshqa ketma-ketlikda aylantirsangiz, bu bir xil aylanish bo'lmaydi. Ob'ektni ikkita asosiy kadrlar orasidagi animatsiya 450° burchak ostida sodir bo'ladi. Shunday qilib, MaxScript-ga o'xshash kompyuter grafik dasturlarida Eyler aylanishlaridan foydalanish bir vaqtning o'zida 360° dan oshmaydigan burchak bilan aylanish bilan cheklangan. Biroq, bu sizning qo'lingiz bilan ekranning orqasida animatsiya yaratishingizga xalaqit bermaydi. Eyler burchaklaridagi yana bir muammo Gimbal qulfi yoki mentli qulfning mavjudligi. 4 Uning ko'rinishi ob'ektning aylanish tartibini tanlashga bog'liq. Masalan, avval biz ob'ektni o'qi atrofida 140°, keyin o'qi atrofida 90° burchak bilan, so'ngra o'qi atrofida 130° burchak bilan aylantiramiz. Shakl 2. Ob'ektning keyingi burilishlari Agar hozir biz aylanishlarning bir xil ketma-ketligini, masalan, Z o'qi atrofida 10° ga, keyin o'qi atrofida 90° ga, keyin o'qi atrofida 0° ga takrorlasak, biz bir xil natijani olamiz. Muammo shundaki, o'qi atrofida aylanish 90 yoki -90° ga aylanganda, mahalliy aylanish o'qi o'qiga parallel bo'ladi, ammo qarama-qarshi yo'nalishda va shuning uchun uning atrofida aylanish o'qi atrofida oldingi aylanish bilan zid keladi. Menteaning qulfi matrislarda va to'rtburchaklar ichida mavjud emas. Kvaternionlar fazoda ob'ektlarning joylashishi va aylanishini qulay matematik belgilashni ta'minlaydi. Eyler burchaklari bilan taqqoslaganda, kvaternionlar aylanishlarni birlashtirishni osonlashtiradi, shuningdek, boshqa o'qlarda mukammal aylanishdan qat'i nazar, o'z o'qi atrofida aylana olmaslik muammosidan qochadi. Matritsalar bilan taqqoslaganda, ular yanada barqaror va samaraliroq. Kvaternionlar kompyuter grafikasi, robototexnika, o'yin dvgatellari, navigatsiya, molekulyar dinamikada va Euler burchaklari yoki matritsalari bilan bog'liq muammolar yuzaga kelgan joyda aylanishlarni amalga oshirish uchun ishlatiladi. Fazoda sobit bo'lgan O nuqtada umumiy kelib chiqishiga ega bo'lgan ikkita koordinatali tizimni ko'rib chiqing ("Lotin") va tanasi va u bilan qattiq bog'langan ("Yunon") tizimi. Belgilangan nuqtaga ega jism, yuqorida aytib o'tilganidek, uch darajali erkinlikka ega va shuning uchun kosmosdagi o'rnini aniqlash uchun uchta umumiy koordinatani ko'rsatish kerak. tekislikni o'qlar bilan kesishguncha torting (V.7-rasm). P tekislik bilan kesishgan chiziq bilan belgilanadi va tugunlarning chizig'i deyiladi. Eksa va tugunlarning chizig'i orasidagi burchak harf bilan belgilanadi va deyiladi burchagi deyiladi. Burchakni o'rnatish kosmosdagi tugunlar chizig'ining holatini to'liq aniqlaydi, ammo tekislikning barchasi burchakni o'zgartirmasdan tugunlarning chizig'iga nisbatan aylanishi mumkin va bundan tashqari, tizim bu burchakni o'zgartirmasdan ham o'z o'qi atrofida aylanishi mumkin. 5 O'qlar va Yunon tizimining tekisligidagi pozitsiyani aniqlash uchun biz tekislikdagi tugunlar chizig'i va eksa o'rtasidagi burchakni kiritamiz. Bu burchakka o'zining (yoki toza) aylanish burchagi deyiladi. Endi burchaklar o'rnatilgandan so'ng, tanada faqat bitta erkinlik darajasi mavjud: bu burchaklarni o'zgartirmasdan, siz tanani tugunlar chizig'i bo'ylab aylantirishingiz mumkin. Ushbu aylanishni tuzatish uchun biz o'qi va eksa orasidagi boshqa burchakni kiritamiz. Bu burchakka ozuqa burchagi deyiladi. Uch burchakning tayinlanishi yunon tizimining Lotin tizimiga nisbatan pozitsiyasini to'liq aniqlaydi, ya'ni tananing holatini to'liq belgilaydi. Biroq, bu uchta burchak, ularning har biri boshqa ikkita burchakni o'zgartirmasdan o'zgartirilishi mumkinligi ma'nosida mustaqildir. Shu sababli, burchaklar nuqtasi aniq bo'lgan tananing umumlashtirilgan koordinatalari bo'lib xizmat qilishi mumkin. Burchaklar Eyler burchagi deyiladi. Shuning uchun burchak tezligi tekisligiga perpendikulyar yo'naltiriladi, ya'ni eksa bo'ylab; burchak tezligi - tekislikka perpendikulyar, ya'ni z o'qi bo'ylab; va nihoyat, burchak tezligi 0 o'qlar va orqali o'tadigan tekislikka perpendikulyar yo'naltiriladi, ya'ni tugunlarning chizig'i bo'ylab. Eyler burchaklari mustaqil ekanligi sababli, burchak tezliklari ning bir nuqtasida tanasi va Euler burchaklari bilan bog'langan kesishgan uchta mustaqil burchak tezligi tizimi bo'lib, biz bu o'qlar bo'yicha o'z navbatida tenglikni olamiz. Eyler burchaklari va ularning hosilalari orqali. Agar Eyler burchagi vaqtning funktsiyalari sifatida ma'lum bo'lsa, u holda tenglik bizga vaqt, va qanday o'zgarishini darhol aniqlashga imkon beradi. Agar, aksincha, vaqt, vaqt o'tishi bilan o'zgarishi ma'lum bo'lsa, u holda tengliklar Eyler burchaklari uchun differentsial tenglamalar sistemasidir. Shuning uchun, agar biz yordamchi o'zgaruvchilardan vaqt o'zgarishini tavsiflovchi tenglamalarni olsak, unda bunday tenglamalar bilan birgalikda Eyler burchaklarining vaqt o'zgarishini to'liq tasvirlaydi. Bu keyingi tenglamaning maqsadi bo'lgan bunday tenglamalarning kelib chiqishi. 6 Eyler teoremasi bizga qattiq jismning ixtiyoriy bilan aylanishini berilgan o'qlar atrofida uchta aylanish ketma-ketligi sifatida tasvirlashga imkon beradi. Qattiqliklar kinematikasida shunday aylanishlarni aniqlaydigan parametrlar tizimi, Eyler burchagi deb nomlangan sistema keng tarqalgan. Bunday holda, ma'lum bir asosda ixtiyoriy bilan aylanish matritsasi uchta matritsaning mahsuloti sifatida namoyish etiladi, ularning har biri faqat bitta parametrga bog'liq. Eyler burchaklari elementar tomonidan aniqlanishi mumkin geometriya yoki aylanishlarning tarkibi bo'yicha. Geometrik ta'rif uchta tuzilganligini ko'rsatadi elementar aylanishlar ( o'qlari atrofida aylanishlar koordinatalar sistema) har qanday maqsadli ramkaga erishish uchun har doim etarli. Uchta elementar aylanish bo'lishi mumkin tashqi (o'qlar atrofida aylanishlar harakatsiz qoladi deb taxmin qilingan asl koordinata sistemaning), yoki ichki (aylanadigan koordinata sistemaning o'qlari atrofida aylanishlar, har bir elementar aylanishdan keyin yo'nalishini o'zgartiradigan harakatlanuvchi tanaga qattiq,). Eyler burchaklari odatda quyidagicha belgilanadi yoki . Turli xil mualliflar Eyler burchaklarini aniqlash uchun turli xil aylanish o'qlarining to'plamlarini yoki bir xil burchaklarning turli nomlarini ishlatishi mumkin. Shuning uchun Eyler burchaklarini ishlatadigan har qanday munozaraga har doim ularning ta'rifi qo'yilishi kerak Aylanish o'qlarini (ichki yoki tashqi) aniqlash uchun ikki xil konventsiyadan foydalanish imkoniyatini ko'rib chiqmasdan, ikkita guruhga bo'lingan o'n ikki aylanish o'qi ketma-ketligi mavjud: Biz bu Teoremaning isbotiga qiziqamiz- harakat orqali tarjima qilish qobiliyatiga oid teoremalar berilgan to'rt burchaklar boshqa har qanday to'rtburchaklar shaklida ma'lumot bilan bir xil nomdagi. Biz buni osongina to'ldirishimiz mumkin ushbu geometrik elementlarni ("juftlik") o'rnatish teoremasi- "parametrlar"), bu ikkinchi reper o'rnini belgilaydi birinchi ga nisbatan (biz avval buni taxmin qilamiz ikkala bir xil boshlanish ). O'tkazilgan mulohazalardan kelib chiqadiki, - pozitsiyasi, agar ma'lum bo'lsa, 7 to'liq aniqlanadi: to'g'ridan-to'g'ri D ( nuqtada tekisligiga ko'tarilgan perpendikulyar) va ikki burchak: Birinchidan, to'g'ridan-to'g'ri , tekisligiga perpendikulyar bo'lgan o boshidan o'tkazilganmi? Tekislik , unda to'g'ri chiziq yotadi, undagi ma'lumotlarning o'zi reper tomonidan yo'naltirilgan;shuning uchun to'g'ri chiziq uni yo'naltirishning qiyaligi bilan belgilanadi vektorga vektor. Uchun yo'nalish vektori to'g'ri chiziq biz uning oni olamiz (. 64-rasm) bu shu nomdagi bilan ). dan gacha bo'lgan burchak (yo'naltirilgan tekisliklari) biz burchak-f ijobiy yo'nalishda- aylanish yo'nalishiag) biz bilan mos keladi, atrofida to'g'ri ortini olib yuradi. bilan bir xil nomlanganligi sababli Atrofida aylanishning ijobiy yo'nalishi ostida (yo'naltirilgan) o'q biz har doim ushbu paragrafda yo'nalishni tushunamiz tomonidan aniqlangan aylanishlar-bizning rasmimizda aylanish yo'nalishi — ushbu o'qning o'rtasi bo'ylab turgan tomoshabin uchun soat sohasi farqli o'laroq, oyoqlari bilan — boshida, boshida-Ortning oxirida, bu burilish ijobiy yo'nalishda sodir bo'ladi- yo'nalish. U tarjima qiladiva tekisligi bilan birlashtirilgan. 8
va tekislik va tekislik va tekislik 9
"yangi" to'rtburchaklar (mos ravishda ) birinchisi bilan bir xil miqyosda. Ushbu ma'lumotlar aniqlanadi fazo (bo'shliq) ning o'zgarishi quyidagilardan iborat har bir nuqtaga m nuqta qo'yiladi , ega ikkinchi reperga nisbatan bir xil koordinatalar mavjud nisbatan (rasm. 65). Agar birinchi eski, asl nusxasi bilan bir xil bo'lsa, unda DVI- harakat o'z harakati deb ataladi (rasm. 65, a), aks holda harakat noto'g'ri deb ataladi 1inchi Harakat ta'rifidan darhol kelib chiqadiki, harakat paytida har qanday ikki nuqta orasidagi masofa saqlanadi. O'zida aslida, va mg ning ikkita nuqtasi sizning koorlaringiz bilan berilsin Ularning orasidagi masofa raqamdir ( ) = lekin faqat yangi koordinatalar tizimida . Chunki bu yangi tizim ham to'rtburchaklar va eskisi bilan bir xil o'lchovga ega, keyin ajralish nuqtalari orasidagi masofa ifodalanadi (bir xil birlikda uzunligi) bir xil raqam bilanp nuqtalar orasidagi masofa 10 Muqarrar savol uchun: Agar shishish bo'lsa, bizning harakatlarimiz ta'rifi bilan nima sodir bo'ladi- koordinata tizimlarining to'rtburchaklar talabidan voz keching, unda kirish ta'rifi? biz javob beramiz: affin o'zgarishlarning ta'rifi olinadi. Men Shunday qilib, yana tekislikda (fazoda) a —ga o'rnatilsin bir marta mutlaqo o'zboshimchalik bilan affin- koordinatalar tizimi (mos ravishda ). Agar bu bilan birga (eski, yoki o'tish joyi- Nuh ) koordinatalar sistema, shuningdek, mutlaqo o'zboshimchalik bilan o'rnating "yangi" afin koordinatalar tizimi (tegishli ravishda) keyin transformatsiya aniqlanadi, bu quyidagilardan iborat tekislikning har bir M nuqtasi (mos ravishda bo'shliq) yuz- nuqtasi mos keladi, bu yangi koordinatada Bo'lishi mumkin bo'lgan konvertatsiya shu tarzda berilgan, affin deb ataladi. Shubhasiz, harakatlar afinaviy o'zgarishlarning alohida holati hisoblanadi. Shakl: 66 va 67 o'quvchiga affin o'zgari bilan nima bo'ladi mumkinligi haqidagi o'zgartirish. 11 Asosiy affinaviy o'zgarishlarning xususiyatlari fazoda (yoki fazoda) biron bir asrni oling- vektori nuqtasining affin transformatsiyasida ular mos ravishda nisbatan m bo'lgan m nuqtalariga o'tadilar yangi nuqtalari bo'lgan koordinatalari nisbatan eski. Vektorning koordinatalari olinganligi sababli uning boshlang'ich nuqtasining koordinatalarini uning koordinatalaridan olib tashlash orqali oxirida, mbm'i vektorining koordinatalari yangi reperga nisbatan vektorning koordinatalari bilan bir xil eskisiga nisbatan. Shunday qilib: Shuning uchun u, affin o'zgarishi bilan nima-erta vektorni o'zgartirish-vektorlar teng, shunday qilib,:samolyot konvertatsiyasi (oddiy-(bo'shliqlar) o'zaro hosil qiladi- birma-bir tanlash o'zingizga ko'rsatish (konvertatsiya qilish) barcha erkinliklarning to'plamlari- tekislikning erkin vektorlari (tegishli ravishda- bo'shliqlar). Agar berilgan ko'z qovoqlarini o'zgartirish- vektorlar mos keladi- vektorlar mos keladi keyin vektori soot bo'ladi- mos kelish vektori va vektori vektoridir (isbotlangan- (to'g'ridan-to'g'ri koordinatalarga o'tish orqali isbotlangan). 12 Nol vektorga affin transformatsiyasi bilan- shubhasiz, nolga to'g'ri keladi, keyin isbotlanganlardan kelib chiqadi: 4° affin o'zgarishida chiziqli Haqiqatan ham, agar berilgan affin transformatsiyasi fazolar , affindan o'tish orqali berilgan afinaviy transformatsiya ko'rish oson bo'lganidek, o'zgarishning teskari tomoni- transformatsiya fazo uchun ham xuddi shunday Qo'llab-quvvatlash isbotlangan. Tasdiqlangan muhim: undan- bundan kelib chiqadiki, affin transformatsiyasini biron bir narsadan o'tish orqali o'rnatish repera, biz uni so'rashimiz mumkin, vayaa kabi asl har qanday reperini ko'rsatib, unda u o'tishi kerak. Darhaqiqat, affin transformatsiyasi bo'lsin e x berilgan reper i dan reper II ga o'tish. Afinaviy o'zgarish koordinatalarni o'zgartirish biz, yuqorida isbotlanganlarga ko'ra, o'tishni belgilashimiz mumkin reper II ba'zi reperlarga 13
Affin o'zgarishlarning eng oddiy xususiyatlarini sanab o'tishda davom etamiz- transformatsiyalar va xaritalar.Uchta nuqta keyin va faqat keyin kollinear bo'ladi (ya'ni, bitta to'g'ri chiziqda yotadi), vektorlari- kollinear, va yaqinlik bilan vektorlarning kollinearligi transformatsiya saqlanib qoladi, keyin kollinearlik saqlanib qoladi nuqtalar. Bu yerdan: Affin tasvirlashda 8° (tekislik yoki bo'shliq) to'g'ri chiziq to'g'ri chiziqqa o'tadi. Endi biz bu faktning ikkinchi isbotini beramiz. Affin xaritasi berilsin. Xususan, tenglama bilan chiziq bir xil tenglamaga ega bo'lgan to'g'ri chiziqqa o'tadi, ammo faqat O'e1 koordinatalar tizimida. Xuddi shunday, kosmosning afinaviy o'zgarishi bilan reperidan reperiga o'tish orqali aniqlanadi sistemada tenglama bo'lgan tekislik xuddi shu tenglamaga ega bo'lgan tekislikka o'tadi , lekin faqat O' koordinatalar tizimida. Kosmosda "umumiy tenglama" bilan berilgan chiziq yoki u yoki bu maxsus kanonik tenglama turli xil, masalanushbu afinaviy o'zgarish bilan u to'g'ridan-to'g'ri harakatga keladi, menda- bir xil tenglamalarga ega, lekin faqat koordinatalar tizimida Shunday qilib, isbotlangan Teorema 7. Samolyotning afinaviy o'zgarishi bilan, soot- shunga ko'ra, bo'shliqlar, chiziqlar to'g'ri chiziqlarga, tekisliklarga o'tadi ular tekislikda harakat qilishadi. Bunday holda, parallellik saqlanib qoladi. Darhaqiqat, agar ikkita to'g'ri chiziq (yoki ikkita tekislik yoki-to'g'ri l tekislik) parallel, keyin ularning tenglamalari nisbatan repera qoniqtir- ma'lum shartlarga javob bering parallellik; lekin tasvirlar ushbu to'g'ri chiziqlar ((tekisliklar) bir xil tenglamalarga ega- O' reperiga nisbatan va shuning uchun ular qoniqishadi xuddi shu shartlar- parallelliklar. Teorema 8. Af bilan-affin transformatsiyasi samolyotlar (bo'shliqlar), to'g'ridan-to'g'ri ga tarjima qilish to'g'ri chiziq, segmenti to'g'ridan-to'g'ri d ga o'tadi-m'qm'i chiziq segmenti 14 nuqta to'g'ri chiziq , bo'lmoq-dan da segmentini ajratish-ushbu munosabat bilan , ushlab turish- m' to'g'ri d' nuqtasiga o'tadi, segmentini ajratadi(rasm. 69). Isbot. Chunki ijobiy bilan biz yarim-biz o'qining nnugri yotgan nuqtalarini olamiz va salbiy bilan-bu segmentdan tashqarida, keyin ikkinchi bayonotning 8-teoremaning ifodalari birinchisidan kelib chiqadi. Biz ikkinchi bayonotni isbotlaymiz teoremalari, tsdogkogtn holati bilan cheklangan. Ruxsat bering (tizimda koordinatalar bizda Shakl: nuqta ga nisbatan segmentini ajratganligi sababli, {kosmosda tenglik bu tengliklarga qo'shiladi. Berilgan affin transformatsiyasi bilan nuqta Koordinatalarni o'zgartirish bir xil koordinatalar bilan nuqtalariga o'tadi, nuqtalarida bo'lgani kabi, lekin faqat koordinata tizimida.Ushbu koordinatalar hali ham nisbati bilan bog'langan), shundan kelib chiqadiki, segmentiniga nisbatan ajratadi. Bu bilan 8-teorema isbotlangan.Ushbu paragrafning oxirida quyidagilarni isbotlaymiz- taklif: Teorema 9. Bitta va faqat bitta afin Pre- ushbu uchta chiziqli bo'lmaganlarni tarjima qiladigan tekislikning o'zgarishi nuqtalar ushbu tekislik {ixtiyoriy ikkinchi) uchta chiziqli bo'lmagan nuqtalar , xuddi shu samolyot. 15
shuningdek, koordinata tizimi . boshlanishi va birlik asrlari- vektorlar Bu affin transformatsiyasini belgilaydi, bu esa- tizimda O e1 koordinatalari bo'lgan har bir m nuqta nuqtada bir xil koordinatalar bilan, lekin tizimida Bu yagona afinaviy transformatsiya, udov- ushbu talablarga javob beradi. Darhaqiqat, har qanday yaqinlik nuqtalarini mos ravishda o'ga aylantiradigan transformatsiya, , vektorlarni tarjima qiladi mos ravishda shunday qilib, transformatsiyasiga to'g'ri keladi, Yüklə 88,53 Kb. Dostları ilə paylaş:
|