N. P. Rasulov, I. I. Safarov, R. T. Muxitdinov

Ratsional funksiyalarni integrallash. Endi umumiy holda R(x)=Q_m(x)/P_n(x) to‘g‘ri ratsional kasrni integrallash masalasi ustida qisqacha to‘xtalib o‘tamiz. Bunda “Oliy algebra” fanida ko‘riladigan va isbotlanadigan bir qator teoremalarni isbotsiz keltiramiz. Ularning orasida ushbu teorema asosiy vazifani bajaradi:

1-TEOREMA: Har qanday (2) ko‘rinishdagi R(x) to‘g‘ri ratsional kasrni

(6)

ko‘rinishda yozish mumkin. Bunda R_k(x) I–IV turdagi eng sodda ratsional kasrlar, ularning umumiy soni r≤n bo‘ladi.

Demak, har qanday to‘g‘ri ratsional kasrni eng sodda ratsional kasrlarning (4) chiziqli kombinatsiyasi ko‘rinishida yozish mumkin. Kelgusida (6) tenglikni R(x) ratsional kasrning yoyilmasi deb yuritamiz.

Masalan, ushbu ratsional kasrlar uchun

(7)

(8)

yoyilmalar o‘rinli ekanligini bevosita tekshirib ko‘rish mumkin.

1-teoremadan har qanday R(x)=Q_m(x)/P_n(x) ratsional kasr, eng sodda ratsional kasrlarning yig‘indisi sifatida, elementar funksiyalarda integrallanuvchi va uning integrali logarifmik, arktangens hamda ratsional funksiyalar orqali ifodalanishi kelib chiqadi. Ammo bu integralni hisoblash uchun bizga ratsional kasrning (6) yoyilmasi kerak bo‘ladi. Shu sababli R(x)=Q_m(x)/P_n(x) ratsional kasrning (6) yoyilmasini topish masalasini qaraymiz.

Dastlab (4) yoyilmada qatnashadigan eng sodda R_k(x) kasrlarning turi va soni qanday aniqlanishini ko‘ramiz. Bu savolga javob maxrajining nollari, ya’ni

P_n(x)=0 (9)

algebraik tenglamaning ildizlari yordamida topiladi. Shu sababli (9) algebraik tenglamaning ildizlari to‘g‘risidagi ayrim ma’lumotlarni va ulardan kelib chiqadigan natijalarni qisqacha, isbotsiz keltiramiz.

Biror x=a soni (9) tenglamani ayniyatga aylantirsa, ya’ni P_n(a)≡0 bo‘lsa, u shu tenglamaning ildizi deyiladi. Masalan, x=–1 soni

(10)

tenglamaning ildizi bo‘ladi, chunki P₃(–1)=(–1)³+3∙(–1)²+4∙(–1)+2≡0.

(9) tenglama uchun x=a ildiz bo‘lib, shart bajarilsa, unda x=a bu tenglamaning oddiy ildizi deyiladi. Bu holda (9) tenglamani chap tomonidagi ko‘phadni P_n(x)=(x–a)L_n–1(x) ko‘paytma ko‘rinishda ifodalab bo‘ladi. Bu tenglikda L_n–1(x) ko‘paytuvchi biror (n–1)- darajali ko‘phad bo‘lib, u L_n–1(a)≠0 shartni qanoatlantiradi.

Masalan, x=–1 soni (10) tenglamaning oddiy ildizi bo‘ladi, chunki

.

Bunda haqiqatan ham yuqorida aytilgan tasdiq o‘rinli bo‘lib,

(11)

tenglik bajarilishini va L₂(–1)=1≠0 ekanligini tekshirib ko‘rish mumkin.

2-TEOREMA: Agar x=a soni (9) tenglamaning, ya’ni R(x)=Q_m(x)/P_n(x) ratsional kasr maxrajining oddiy ildizi bo‘lsa, unda R(x) kasrning (6) yoyilmasida bitta A/(x–a) ko‘rinishdagi I tur eng sodda ratsional kasrdan iborat qo‘shiluvchi qatnashadi.

Masalan, (8) ratsional kasrning maxraji uchun x=–1 oddiy ildizi bo‘lishini yuqorida ko‘rib o‘tdik va shu sababli ratsional kasrning (8) yoyilmasida bitta –5/(x+1) qo‘shiluvchi qatnashmoqda.

Agar (9) tenglamaning x=a ildizi uchun

shartlar bajarilsa, x=a bu tenglamaning s karrali ildizi deyiladi. Bu holda (7) tenglamaning chap tomonini P_n(x)=(x–a)^sL_n–s(x) [L_n–s(a)≠0] ko‘rinishda ifodalab bo‘ladi.

Masalan, P₃(x)=x³–x²–8x+12=0 tenglama uchun x=2 ikki karrali ildiz bo‘ladi. Haqiqatan ham

va