Namangan muhandislik texnologiya instituti muhandislik texnologiya fakulteti fizika kafedrasi

4.Laplas almashtirishlari.

Laplas almashtirilishini qo’llash DT larni yechishdan algebraik tenglamalarni yechishga o’tish imkoniyatini beradi. Undan tashqari integrallash doimiylarini maxsus aniqlash zaruriyati kerak bo’lmaydi, o’ng tomoni ixtiyoriy bo’lgan bir jinsli bo’lmagan DT ning umumiy yechimi bira to’la topiladi, yani, y₁(t) – umumiy va y₂(t) – xususiy yechimlarni alohida –alohida topishga o’rin qolmaydi.
f(t) – Dirixle shartlarini (qaralayotgan intervalda uzliksiz va differentsiallanuvchi) qanoatlantiruvchi va t<0 da nolga teng bo’lgan haqiqiy o’zgaruvchi t ning haqiqiy funktsiyasi bo’lsin. Bu funktsiyani original (asl) deb ataymiz. Har bir original f(t) ga har doim p = α jω kompleks o’zgaruvchili F(p) funktsiyani moslab qo’yish mumkin. Moslash quyidagi integral ko’rinishida aniqlanadi:
(6)
(6) ning o’ng tomoni f(t) – funktsiyaning Laplas to’g’ri almashtirishi, F(p) – esa Laplas tasviri deyiladi. 1- jadvalda ba’zi funktsiyalarni Laplas tasvirlari keltirilgan.
Sistemaning dinamik xossalarini tadqiq etishda sistema o’zgaruvchilarini haqiqiy argument t ning funksiyasiysida aniqlash talab etiladi. Shu sababli teskari masala yuzaga chiqadi: o’zgaruvchining tasviridan uning asliga qanday qilib o’tiladi.
Ma’lum tasvir Y(p) ga ko’ra y(t) originalni topishning eng umumiy usuli Laplasning teskari almashtirishini qo’llashdir:

Bu yerda  Laplasning teskari almashtirish operatori.
Originalni asliga ko’ra aniqlashning eng sodda yo’li jadvallardan foydalanishdir. Bunday jadvallarda (masalan 2-jadval) birinchi-uchinchi tartibli DT ni yechishda ko’p uchraydigan tasvirlar va ularga mos originallar keltirilgan.
1- jadval.

Qator №	Original x(t)	Laplas tasviri X(p)  X(p)=
1
2	birlik pog’onali signal
3	δ (t), birlik impulsli signal
4	 , darajali signal
5	 , impulsli signal
6
7
8
9

2-jadval
Jadvalda birinchi-uchinchi tartibli DT ni yechishda ko’p uchraydigan

tasvirlar va ularga mos originallar keltirilgan.

Qator №	Tasvir Y(s)	Original y(t)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17

5.Tenglamalarni chiziqlantirish

Bizga ma’lum bo’ldiki, boshqarish nazariyasi (BN) da chiziqli sistemalarni tadqiq etish metodlari juda yaxshi ishlab chiqilgan. Biroq, atrofimizdagi olamda to’laligicha chiziqli sistemalar mavjud emas. Shu sababli, bu metodlarni amalda qo’llash uchun chiziqlantirishni bajarish kerak. Chiziqlantirish – bu ob’ektning nisbatan real nochiziqli modeli asosida taqribiy chiziqli modelini qurishdir.
Algebraik tenglamalar. Suv bilan to’ldirilgan bakni tasavvur qilaylik. Bakning pastki qismida tirqish hosil qilingan bo’lib, u orqali suv oqib chiqadi. Bakning kesim yuzasini S bilan, tirqishning kesim yuzasini S₀ bilan belgilaymiz.
Bakdagi suv sathi h (metr) va oqib chiqayotgan suv sarfi (m³/s) larni bog’lovchi modelni tuzamiz (quramiz). Bu bogliqlikni Bernulli qonuni yordamida topish mumkin. Bu qonun berilgan holda ushbu ko’rinishda bo’ladi:
 . (1)

Bu yerda 𝞀 – suyuqlik zichligi (kg/m³), g = 9,8 m/s² – erkin tushish tezlanishi, 𝝼 – suyuqlikning oqib chiqish tezligi (m/s).

(1) dan:  . Suv sarfi  bilan hisoblanishini e’tiborga olib:
 (2)
Bu yerda  – o’zgarmas kattalik.
Bu (2) statik model, negaki, u signalni vaqt bo’yicha o’zgarishini xarakterlovchi hosilalarga ega emas. Statik model barqaror holat (statik rejim) ni tavsiflaydi, qachonki, bakda suv sathi o’zgarishsiz saqlanadi va oqib chiqayotgan suv oqimi ham doimiy.
Ayonki, model (2) – nochiziqli, negaki unda  mavjud. Uni chizqlantirish – (2) tenglamani taqriban chiziqli tenglama q = kh (biror koeffitsient) bilan almashtirishdan iborat. Bu k – koeffitsientni qanday tanlasa bo’ladi? Bu savolga aniq javob yo’q.
Faraz qilaylik, suv sathi 0 dan 1 m gacha intervalda o’zgarayotgan bo’lsin. Bu holda variantlardan biri – k koeffitsientni q egri chiziqni bu intervalni boshi va oxirgi nuqtalarini birlashtiruvchi kesmaning qiyalik burchagi sifatida aniqlashdir. Aniqlik uchun har doim  deb qabul qilamiz, bu holda k = 1 ni olamiz.
Albatta, bu model o’ta qo’pol va katta xatolikni beradi, ayniqsa, 0,1 dan 0,6 gacha intervalda katta xatolikni beradi. Xatolikni kichraytirish uchun, k ni biroz o’zgartirishni (mas., uni 1,2 gacha kattalashtirib) sinab ko’rish mumkin, bunda yaqinlashish aniqligi avvalgidan ozgina yaxshilanadi, biroq, shunda ham yaqinlashish aniqligi avvalgidek yuqori emas. (rasm joylash kerak).
Endi, suv sathi o’rtacha qiymat h = 0,5 m atrofida (yaqinida) odatda oz o’zgaradi deb faraz qilaylik. Bu holda boshqa yondashuvni qo’llash mumkin. Ko’rish mumkinki, q egri chiziq, bu sohada ( ) nuqtaga urinma bilan deyarli mos tushadi, bu urinmaning qiyalik burchagi ushbu hosilaga teng:

Urinma - bu k – qiyalikli, ( ) nuqtadan o’tuvchi to’g’ri chiziq, uning tenglamasi q = kh +b ko’rinishga ega. Erkin had b ni ushbu tenglikdan aniqlaymiz:

Va ushbu modelni olamiz:
 (3)
Bu chiziqli tenglama, ammo model (3) nochiziqli, negaki, u uchun mas., konstantaga ko’paytirish xossasi bajarilmaydi. Buni q[2h] va 2q[h] larni solishtirib, osongina tekshirish mumkin:
 .
Superpozitsiya printsipi ham bajarilmaydi.
(3) dan chiziqli modelni olish uchun, urinmaning qiyaligini aniqlangan (h₀; q₀) ishchi nuqtadan og’ish tenglamasini yozish kerak. (3) dan kelib chiqadiki:
 (4)
(3) bog’liqlikning grafigi (h₀; q₀) nuqtadan o’tganligidan,  . Bunda (4) dan ushbuni topamiz:
 . (5)
Shunday qilib olingan tenglama – bu ob’ektning chiziqli modeli bo’lib, u (h₀; q₀) ishchi (nominal) nuqtadan kirish va chiqishdan og’ish tenglamasidir. Taqribiy (5) model bu nuqtaning yaqinida katta aniqlikda mos keladi, bu nuqtadan katta og’ishlarda xatolik sezilarli kattalashishi mumkin.
Biz bu sodda misolda nochiziqli algebraik tenglamalarni chiziqlantirishning asosiy printsiplari bilan tanishdik. Keyinchalik shu g’oyalar nisbatan murakkabroq, sistemaning dinamikasini (vaqt bo’yicha o’zgarish) tavsiflovchi modellar uchun qo’llaniladi.