Natural sonlar nazariyasi. Natural sonlar nazariyasi

2-ta`rif. 1) 0 — termdir; 2) x, y, z,... sonli о ‘zgaruvchilar termdir;. 3 -5 ) agar r va s term bo`lsa,u holda (r’) , (r) + (s) va (r)(s) ham term bo`ladi. 6) 1-5- bandlarda aniqlangan termlardan boshqa hech qanday term уо’q.
Bu nazariyada elementar formulalar termlar va ularning tengliklaridan iborat bo'ladi. Boshqa formulalar elementar formulalardan mantiqiy bog`llovchilar vositasida hosil qilinadi.
3-ta’rif. 1) Agar r va s termlar bo'lsa, u holda (r) = (s) formula bo'ladi; 2-5) agar A va В formulalar bo'lsa, u holda AB, AB ham formulalar bo 'ladi; 6-7) agar A formula va x o'zgaruvchi bo'lsa, u holda va formulalar bo'ladi; 8) 1-7- bandlarda aniqlangan formulalardan boshqa hech qanday formula yo`q.
Formulalar aksiomatik natural sonlar nazariyasida arifmetik formulalar deb ataladi.
1-izoh. 2- ta’rifdagi « r» va « s » formal simvollar emas. Ular metatilda foydalaniladigan matematik o‘zgaruvchilardir. Shuning uchun « (r) + (s) » formal ifoda emas. Agar « r» va « s » o`rniga termlar qo'yilsa, u holda u formal ifoda bo'ladi.
2-izoh. 3- ta’rifdagi « A » va « В » hamda «x » matematik o'zgaruvchilardir. Ularning o'niga mos ravishda ma’lum qiymatlari qo'yilgandagina, ta’rifdagi ifodalar formulalarga aylanadi.
Gyodelning to`liqsizlik haqidagi teoremalari.
2. Gyodelning to`liqsizlik haqidagi teoremalari.
Gyodelning to`liqsizlik haqidagi teoremasi. Gyodelning to‘liqsizlik haqidagi teoremasi deganda Gyodelning quyida ifodalangan ikkita teoremasiga qo‘yilgan umumiy nom tushuniladi.
Gyodelning birinchi teoremasi (to`liqsizlik haqida). Minimum arifmetikani qamrab olgan har qanday qarama-qarshilikka ega bo'lmagan formal sistemada va, demak, natural sonlar nazariyasida formal yechilmovchi fikr topiladi, ya 'ni shunday yopiq A formula topiladiki, na A na ni sistemada keltirib chiqarish mumkin emas.
Gyodelning birinchi teoremasi quyidagini bildiradi: arifmetikada qanday aksiomalar tizimi tanlashimizdan qat’iy nazar, formal nazariya tilida ifodalangan natural sonlar haqida shunday mulohaza topiladiki, uni berilgan nazariyada na isbot qilib bo`ladi va na rad etib bo`ladi.