O. O. Hoshimov, M. M. Tulyaganov kompyuterli va raqamli texnologiyalar

x_n(n= 1,2,3...) sonlarini (2) formula yordamida ketma-ket hisoblash jarayoni iteratsiya metodi deyiladi. 9-rasmda iteratsiya metodining geometrik interpretatsiyasi keltirilgan.
Agar [a, p] oraliqda |
shart bajarilsa, u holda jarayon yaqinlashuvchi bo‘ladi.

9-rasm. Iteratsiya metodining geometrik та 'nosi.
Iteratsiya jarayonini ikki qo'shni bo'lgan ketma-ket yaqin-

1. 
   I
   

lashishlar: x_n__t va x_n uchun quyidagi tengsizlik
Я
bajarilmaguncha davom ettiramiz. Bu yerda £ - berilgan _x’ ildizning absolyut xatoligi.
Agar q<0,5 bo‘lsa, u holda |л:_я — jc„_₁ | <£ oddiy ifodadan foyda- lansa bo‘ladi. Agar f'{x)< 0, u holda /(x) = 0 tenglama o‘rniga -fix) = 0 tenglama ko‘riladi.
(1) ni unga ekvivalent bo‘lgan tenglama x = x- A f{x) Я >- 0 bilan almashtiriladi. я parametri shunday tanlab olinadiki, bunda 0 < cp'{x) = 1 - A/'(*) < q < 1 shart bajarilishi kerak.
Misol:
[—0,5;0] oraliqda joylashgan (3) tenglamaning ildizini £ = 10"
absolyut xatolik bilan iteratsiya metodi orqali toping. Bundan tashqa- ri, ildizni hisoblashga kerak bo‘ladigan qadamlar sonini ham toping.

Yechish:
(3) tenglamani x = cp(x) ko‘rinishga keltiramiz:
arcsin(2x +1) = x²
Sin(arcsm(2x +1)) = Sinx²
2x +1 = Sinx²
x = 0.5{Sinx² -1)
Bu yerdan q>(x) = 0,5{Sinx² -1) (4)
q>'(x) = xcosx² topamiz. Ko'rinib turibdiki, hamma 0,5 0 lar uchun. Shuning uchun q=0,5 va iteratsiya jarayoni yaqinlashuvchi boiadi.
Algoritmi:

1. 
   
   Boshi
   
   X=-0.4
   e =0,0001
   n=i
   

   	Л	f
   ;	Y=0t5(Sinx^2-l) S=\y-x\
   I I	X	= V n+1

   
   
   
   Boshlang‘ich yaqinlashuv sifatida [—0,5;0] oraliqning xohlagan nuqtasini tanlab olish mumkin, masalan: x₀=-0,4. (3) tenglamani iteratsiya metodi orqali yechishning blok-sxemasi 8-rasmda ko'rsatilgan.
   

x= -0,4, s = 1*1(И,и = 0

2. 
   
   X^Yo'^q
   
   Bosmaga
   x,n
   Keyingi yaqinlashish x_n+| ni x„₊₁ = 0,5(sinx²-1) formula orqali hi- soblanadi.
   
3. 
   5 = x_n+x-x_n farqni hisoblab, n bittaga oshiriladi.
   
4. 
   |5| > £ shart tekshiriladi. Agar u
   

Tamom

10-rasm. Iteratsiya metodi blok-sxemasi.
bajarilsa, keyingi yaqinlashish hisobla- nadi. Agar u bajarilmasa, u holda x_n+| ni ildiz deb va hisoblash tugatiladi, bunda n bajarilgan iteratsiyalar soniga teng bo'ladi.
Dasturi:
10 X=-0,4 N=0 E=lE-4 20 Y=0,5*(SIN(X^A2)-1)
30 D=ABS(Y-X) X=Y N=N+1
40 IF D>E GOTO 20
50 PRINT «Х=»; X, «N=»; N
60 STOP
RUN
Javobi:
X=-0.414539 N=7
Nyuton metodi
[a,p] oraliqda f(x) = 0 tenglama bitta ildizga ega, hamda f'(x)
va f"{x) ushbu oraliqda aniqlangan va uzluksiz bo‘lsin.
Nyuton metodining geometrik ma’nosi 11-rasmda keltirilgan.





[a,P] oraliqdan ixtiyoriy x₀ nuqta olinadi va y=f(x) egri chizig‘ini
P₀(x₀,f(x₀)) nuqtasidan OX o‘qi bilan kesishguncha urinma o‘tkazila- di. Abssissa bilan kesishish nuqtasi x, ni ildizga yaqinlashishni birinchi nuqtasi deb olish mumkin. Yangi Р^Дх,)) nuqtadan urinma o‘tka- zib, abssissa bilan kesishish nuqtasini - X₂ ildizga yaqinlashishning ikkinchi nuqtasi sifatida olinadi. Keyingi yaqinlashishlarni shu tariqa topish mumkin.
Ildizga ketma-ket yaqinlashish formulasini keltirib chiqaramiz. PO nuqtadan o‘tuvchi urinma tenglamasi quyidagi ko‘rinishda bo‘ladi:
y=f(x₀)+f(x₀)(x-x₀) (5)
y=0 deb, x, abssissa nuqtasidan o‘tkazilgan urinmani OX o‘qi bilan kesishish nuqtasini topamiz:
fixo)
'■'■/hi ⁽⁶⁾ Keyingi yaqinlashishlar mos ravishda quyidagi formulalardan topiladi:
fix,)
X, = X, --
fix,)
(7)
Yaqinlashish jarayonini hisoblashni quyidagi shart bajarilsa to‘xtatamiz:
2m. £
-ПГ ⁽⁸⁾
Bu yerda m, - |/'0)| ning [a,/3] oraliqdagi eng kichik qiymati,
M₂ - |/"(x)| ning [a,p] oraliqdagi eng ka tta qiymati.
Bu yerda \x*-x_n\<£ tengsizlik o‘rinli bo‘ladi, bu yerda £ - x* ildizning berilgan chegaraviy absolyut xatoligi. Agar M₂ ning qiymati
2w, ₇ I—
⁰ bo‘lsa, u holda (8) tengsizlikni |*_я -x„_,| < 10 ’V£ ko‘rinish- da yozish mumkin

Tamom

Bosmaga x,n
T


12-rasm. Nyuton metodining blok- sxemasi.
Misol uchun £=10-6 bo‘lsa, u holda quyidagi oddiy shartdan foydalanish
munkin: |jc„ — | с 10^-4
x_Q boshlang‘ich yaqinlashishni shun- day tanlab olish maqsadga muvofiqki, bunda quyidagi (9) shart bajarilishi ke­rak:
/(*o)/"W^>0 (⁹)
Aks holda metodning yaqinlashishi kafolatlanmaydi.
Ko'pincha (9) shart bajarilishiga qarab x₀ =a yoki x₀ = p deb tanlab olinadi. Nyuton metodi f(x)=0 tengla- malarni yechishda f(x) funksiyasi grafigi berilgan ildizning atrofida katta egrilikka ega bo‘lgan hoi uchun yaxshi samara beradi.
Misol:
f(x)=sinx-x+0.15=0 tenglamaning oraliqdagi ildizini absolyut xatolik bilan Nyuton metodi yordamida toping. Bundan tashqari, ildizni hisoblashga kerak bo'ladigan qadamlar sonini ham toping.
Yechish:

f'(x) = cosx-1 topamiz.
Nyuton metodining hisoblash formulasi quyidagi ko'rinishga ega bo‘ladi:

sinx.
' ^xn-\ +0,15

cos X , -1
, bu yerda n= 1,2,3...

Boshlang‘ich yaqinlashish nuqtasi qilib X₀=l tanlab olamiz. Bu nuqtada yaqinlashish sharti f(x₀)f"(x₀) > 0 bajarilyapti. 12-rasmda ushbu misolni yechishning blok-sxemasi keltirilgan.