Oddiy differensial tenglamalar uchun qо‘yilgan Koshi masalasini yechishning sonli usullari. Ketma-ket yaqinlashish, Eyler, Runge-Kutta usullari. Reja



Yüklə 284 Kb.
səhifə5/6
tarix02.01.2022
ölçüsü284 Kb.
#42652
1   2   3   4   5   6
12-маъруза (2)

Echish. bundan x=0 da y=1 ekanligini hisobga olsak,

(13.10) ga asosan,



(13.11) ga asosan,





y3 va y4 ni hisoblaymiz:



Berilgan tenglamaning aniq echimi:



Bundan ko`rinadigan taqribiy echimlar y3 va y4 aniq echimdan faqat oxirgi hadlari bilan farq qiladilar.




  1. EYLER USULI

Yuqorida ko`rilgan usullar taqribiy analitik usullar bo`lib, bu hollarda echimlar analitik (formula) ko`rinishlarida olindi. Bu usullar bilan topilgan echimning aniqlik darajasi haqida fikr yuritish birmuncha murakkab bo`ladi. Masalan, ketma – ket differentsiallash usulini qo`llaganda qatorning juda ko`p hadlarini hisoblashga to`g’ri keladi va ko`p hollarda bu qatorning umumiy hadini aniqlab bo`lmaydi. Pikar algoritmini qo`llaganimizda esa, juda ko`p murakab integrallarni hisoblashga to`g’ri keladi va ko`p hollarda integral ostidagi funktsiyalar elementar funktsiyalar orqali ifodalanmaydi. Amaliy masalalarni echishda echimlarni formula ko`rinishida emas, balki jadval ko`rinishida olish qulay bo`ladi. Differenuial tenglamalarni raqamli usullar bilan echganda echimlar jadval ko`rinishida olinadi. Amaliy masalalarni echishda ko`p qo`llaniladigan eyler va Runge – Kutta usullarini ko`rib chiqamiz.



Eyler usuli. Quyidagi

(14.1)

birinchi tartibli differentsial tenglamaning [a,b] kesmada boshlang’ich shart x=x0 bo`lgan hol uchun y=y0 ni qanoatlantiruvchi echimi topilishi lozim bo`lsin. [a,b] kesmani x0 , x1, x2 ,…, xn nuqtalar bilan n ta teng bo`lakchalarga ajratamiz; bunda (i= 0,1,2,…n), - qadam.

(14.1) tenglamani [a,b] kesmaga tegishli bo`lgan biror [xk, xk+1] kesmada integrallasak,

ya`ni,


(14.2)

Bu erda integral ostidagi funktsiyani x=xk nuqtada boshlang’ich o`zgarmas qiymatiga teng deb qabul qilinsa, quyidagini hosil qilamiz:

U holda (14.2) dan

(14.3)

ya`ni deb belgilasak,

(14.4)

Ushbu jarayonni [a,b] ga tegishli bo`lgan har bir kesmacha uchun takrorlab, (14.1) ning echimini ifodalovchi jadvalini to`zamiz. eyler usulining geometrik ma`nosi shundayki, bunda (14.1) ning echimini ifodalovchi integral egri chiziq siniq (II) chiziqlar bilan almashtiriladi (10 - rasm).


10 – rasm

Quyidagi tizim

(14.5)

uchun


x=x0 da y=y0 , z=z0 (14.6)

boshlang’ich shart berilgan. (14.5) ning taqribiy echimlari quyidagi formulalar orqali topiladi:

bu erda


Misol. eyler usuli yordamida differentsial tenglamaning [0,1] kesmada olingan va u(0)=1 boshlang’ich shartni qanotlantiruvchi u(x) echimining taqribiy qiymatlarini h=0,2 qadam bilan toping.

Echish:

Quyidagi hisoblash jadvalini to`zamiz.


1- qator .

i=0,

2-qator.



i=1 ,

va xakazo i=2,3,4,5lar uchun hisoblanadi.




i









0

0,1

1,0000

1,0000

0,200

1

0,2

1,2000

0,8667

0,1733

2

0,4

1,3733

0,7908

0,1582

3

0,6

1,5315

0,7480

0,1496

4

0,8

1,6811

0,7293

0,1459

5

1,0

1,8270









Yüklə 284 Kb.

Dostları ilə paylaş:
1   2   3   4   5   6




Verilənlər bazası müəlliflik hüququ ilə müdafiə olunur ©azkurs.org 2024
rəhbərliyinə müraciət

gir | qeydiyyatdan keç
    Ana səhifə


yükləyin