Oddiy differensial tenglamalar uchun qо‘yilgan Koshi masalasini yechishning sonli usullari. Ketma-ket yaqinlashish, Eyler, Runge-Kutta usullari. Reja

2. RUNGE-KUTTA USULI
Runge - Kutta usuli ko`p jihatdan Eyler usuliga o`xshash, ammo aniqlik darajasi eyler usuliga nisbatan yuqori bo`lgan usullardan biridir.

Runge-Kutta usuli bilan amaliy masalalarni echish juda qulay. CHunki, bu usul orqali noma`lum funktsiyaning x<sub>i+1</sub> dagi qiymatini topish uchun uning x<sub>i</sub> dagi qiymati aniq bo`lishi etarlidir. Runge-Kutta usuli uning aniqlash darajasiga ko`ra bir necha turlarga bo`linadi. Shulardan amaliyotda eng ko`p qo`llaniladigani to`rtinchi daraja aniqlikdagi Runge-Kutta usulidir.

Birinchi tartibli y=f(x,y) differentsial tenglama uchun x=x_i (i=0,1,2,…n) y=y_i ma`lum bo`lsin. Bu erda y_i boshlang’ich shart ma`nosida bo`lmasligi ham mumkin. Noma`lum funktsiya y ning x=x<sub>i+1</sub> dagi qiymati y<sub>i+1</sub>=y<sub>i+1</sub>(x) ni topish uchun quyidagi ketma-ket hisoblash jarayonini amalga oshirmoq lozim bo`ladi:

(14.7)

bu erda

(14.8)

i=0,1,2,…,n-1, - integrallash qadami.

Tenglamaning echimi qidirilayotgan [a,b] kesma (i=0,1,2,…,n) nuqtalar bilan o`zaro teng n ta bo`lakka bo`lingan. i ning ha bir qiymati uchun (14.7) va (14.8) dagi amallarni bajaramiz va noma`lum funktsiya y ning qiymatlarini (tenglamaning echimini) quyidagi formuladan topamiz:

(14.9)

Misol: Runge-Kutta usuli bilan tenglamaning [1,8; 2,8] kesmada aniqlangan va u(1,8)=2,6 boshlang’ich shartni qanoatlantiruvchi echimini h=0,1 qadam bilan hisoblang.

Echish:

f(x,y)=x+cos( ,



,

,

,

va hokazo.

Qiymatlar jadvali

i	0	1	2	3	4	5
	1,8	1,9	2,0	2,1	2,2	2,3
	2,6	2,0259	3,0408	3,2519	3,4861	3,4861
I	6	7	8	9	10
	2,4	2,5	2,6	2,7	2,8
	3,9260	4,1478	4,3700	4,5971	4,9172

Takrorlash uchun savollar:

1. 
   Differentsiallash deganda nimani tushunasiz?
   
2. 
   Differentsial tenglama deb nimaga aytiladi?
   
3. 
   Oddiy differentsial tenglama va xususiy xosilali differentsial tenglama farqi nimada?
   
4. 
   Oddiy differentsial tenglamaga misollar keltiring.
   
5. 
   n-tartibli differentsial tenglamaning echimi qanday bo`ladi?
   
6. 
   Differentsial tenglamalarni echishning qanday usularini bilasiz?
   
7. 
   Koshi masalasi deb nimaga aytiladi?
   
8. 
   Pikar algoritmi nima, uning asosiy formulalarini izohlang?
   
9. 
   Pikar algoritmi va eyler usuli farqini tushuntiring.
   
10. 
    Eyler usuli ifodasini izohlang.
    
11. 
    Eyler usulining geometrik ma`nosi.
    
12. 
    Runge – Kutta usuli yordamida differentsial tenglamalar qanday echiladi?
    
13. 
    Runge – Kutta usulining asosiy formulalarini ayting?
    
14. 
    Eyler va Runge – Kutta usullarining asosiy farqi nimada?
    
15. 
    Usullar ichida qaysi ko`proq aniq echimni beradi?
    
16. 
    Qaysi usulda hisoblashlar kamroq bajariladi?