Oddiy differensial tenglamalar uchun qо‘yilgan Koshi masalasini yechishning sonli usullari. Ketma-ket yaqinlashish, Eyler, Runge-Kutta usullari. Reja

DIFFERENTSIAL TENGLAMALAR

Agar tenglamada noma`lum funktsiya hosila yoki differentsial ostida qatnashsa, bunday tenglama differentsial tenglama deyiladi.

Agar differentsial tenglamada noma`lum funktsiya faqat bir o`zgaruvchiga bog’liq bo`lsa, bunday tenglama oddiy differentsial tenglama deyiladi. Masalan:

Agar differentsial tenglamadagi noma`lum funktsiya ikki yoki undan ortiq o`zgaruvchilarga bog’liq bo`lsa, bunday tenglama xususiy hosilali differentsial tenglama deyiladi. Masalan:

Differentsial tenglamaning tartibi deb, shu tenglamada qatnashuvchi hosilaning (differentsialning) eng yuqori tartibiga aytiladi. Masalan:

birinchi tartibli tenglamalar,

esa 4-tartibli differentsial tenglamalardir.

Mavzularda faqat oddiy differentsial tenglamalarni ko`rib chiqamiz. n – tartibli oddiy differentsial tenglamaning umumiy ko`rinishi quyidagicha:

(13.4)

bu erda x – erkli o`zgaruvchi; y – noma`lum funktsiya, - noma`lum funktsiyaning hosilalari.

(13.4) ni ko`p hollarda quyidagi ko`rinishda yozish mumkin:

(13.5)

(13.5) ning echimi (yoki integrali) deb uni qanoatlantiruvchi shunday funktsiyaga aytiladiki, ni (13.5) ga qo`yganda u ayniyatga aylanadi.

Oddiy differentsial tenglama echimining grafigi uning integral egri chizig’i deyiladi.

n-tartibli differentsial tenglamaning echimida n ta erkli o`zgarmas son qatnashadi. Bu o`zgarmas sonlarni o`z ichiga olgan echim umumiy echim deyiladi. Umumiy echimning grafik ko`rinishi integral egri chiziqlar dastasini ifodalaydi. Umumiy echimda qatnashuvchi erkli o`zgarmaslarning aniq son qiymatlari ma`lum bo`lsa umumiy echimdan xususiy echimni ajratib olish mumkin.

Umumiy echimga kiruvchi erkli o`zgarmaslar masalaning boshlang’ich shartlaridan aniqlanadi. Bunda masala quyidagicha qo`yiladi: (13.4) differentsial tenglamaning shunday echimi ni topish kerakki, bu echim erkli o`zgaruvchi x ning berilgan qiymati x=x<sub>0</sub> da quyidagi qo`shimcha shartlarni qanoatlantirsin:

(13.6)

(13.6) shartlar boshlang’ich shartlar deyiladi, - sonlar esa echimning boshlang’ich qiymatlari deyiladi. Boshlang’ich shartlar (13.6) yordamida umumiy echimdan xususiy echimni ajratib olinadi.