Koshi masalasi :
differentsial tenglamaning [a,b] kesmada aniqlangan va
boshlang’ich shartlarni kanoatlantiruvchi taqribiy echimi topilsin.
taqribiy qiymatlar lar uchun yaqinlashishlar quyidagi formulalar bo`yicha topiladi.
bunda i=0,1,2,…, n
KETMA-KET YAQINLASHISH USULI (PIKAR ALGORITMI)
Pikar algoritmi analitik usullardan bo`lib amaliy masalalarni echishda qo`llaniladi.
Faraz qilaylik,
(13.7)
differentsial tenglamaning o`ng tomoni to`rtburchakda uzluksiz va y bo`yicha uzluksiz xususiy hosilaga ega bo`lsin. (13.7) tenglamaning x=x0 da
(13.8)
boshlang’ich shartni qanoatlantiruvchi echimi topilsin.
(13.7) dan bu ifodaning ikala tomonini x0 dan x gacha integrallasak,
Bundan (13.8) hisobga olinsa,
(13.9)
(13.9) da noma`lum funktsiya integral ifodasi ostida qatnashganligi tufayli u integral tenglama deb ataladi. (13.9) da f(x,y) funktsiyadagi y o`rniga uning ma`lum qiymati y0 ni qo`yib birinchi yaqinlashish bo`yicha echimni topamiz:
(13.10)
Endi (13.9) dagi f(x,y) funktsiyadagi y o`rniga uning ma`lum qiymati y1 ni qo`ysak, ikkinchi yaqinlashish bo`yicha echim y2(x) ni topamiz:
(13.11)
Ushbu jarayonni davom ettirsak,
(13.12)
Shunday qilib, quyidagi funktsiyalar ketma – ketligi {yi(x)} ni tashkil qildik:
y1(x), y2(x), y3(x), …, yn(x) (13.13)
(13.13) yaqinlashuvchi yoki o`zoqlashuvchi bo`lishi mumkin. Quyidagi teoremani isbotsiz keltiramiz:
Teorema. Agar (x0; y0) nuqta atrofida f(x,y) funktsiyaning uzluksiz va chegaralangan xususiy hosilasi mavjud bo`lsa, u holda {yi(x)} ketma – ketlik tenglamaning echimi bo`lgan va y(x0)=y0 shartni qanoatlantiruvchi y(x) funktsiyaga yaqinlashadi.
Demak, differentsial tenglamalarni echishda ushbu teoremaning shartlari bajarilsa (ya`ni (13.13) yaqinlashuvchi bo`lsa), Pikar usulini qo`llash mumkin. Agar (13.13) o`zoqlashuvchi bo`lsa, bu usulning ma`nosi bo`lmaydi.
Misol. Ketma – ket yaqinlashish usuli bilan (Pikar usuli) differentsial tenglamaning x=0 da y=1 shartni qanoatlantiruvchi xususiy echimi topilsin.
Dostları ilə paylaş: | 
