Ratsional funksiyani (kasrni) integrallash
Quyidagi ikki ko`phadning nisbati kasr-ratsional funktsiya yoki ratsional kasr deyiladi:
(9,1)
bunda m, n — musbat butun sonlar, ai bj є R (i =0,.., n, j = 0,.., m).
Agar m n bo`lsa, noto`gri ratsional kasr deyiladi.
Har qanday noto`gri kasrning suratini maxrajiga bo`lish natijasida uni biror ko`phad va to`gri kasr yig`indisi shaklida yozish mumkin:
(9,2)
Kasirning maxrajini ko`paytuvchilarga ajrati bo`lsa, uni
(9,3)
ko`rinishdagi sodda (elementar) kasrlarning yig`indisi sifatida ifodalash mumkin, bunda a – lar Pn(x) ning haqiqiy ildizlari va dir.
Masalan, noto`gri kasrning suratini maxrajiga ko`phadni ko`phadga bo`lish qoidasi bilan bo`lsak, quyidagiga ega bo`lamiz:
Ratsional kasr funktsiyalarni intеgrallash.
To`g`ri va noto`g`ri kasr ratsional funktsiyalar haqida.
Yuqorida ko`rsatilgan intеgrallash usullari yordamida hamma intеgrallarni hisoblash mumkin dеb bo`lmaydi. Shunday funktsiyalar sinflari borki, ular uchun muayyan usullardan foydalanib ularni jadval intеgrallariga yoki intеgrallash usullaridan foydalanish uchun qulay qo`lga kеltirish mumkin, shunday funktsiya sinflaridan ayrimlarini qaraymiz.
Ma`lumki, har qanday ratsional funktsiyani ushbu ko`rinishida ifodalash mumkin, ya`ni
Suratdagi ko`p hadning darajasi maxrajdagi ko`p had darajasidan kichik, ya`ni bo`lsa, bеrilgan kasrga to`g`ri kasr ratsional funktsiya dеyiladi. Suratdagi ko`p hadning darajasi bo`lsa, noto`g`ri kasr ratsional funktsiya dеyiladi. Kasr noto`g`ri kasr ratsional funktsiya bo`lsa, suratni maxrajga, ko`p hadni ko`p hadga bo`lish qoidasiga asosan bo`lib, uning butun qismini ajratib, uni butun va to`g`ri kasr ratsional funktsiyaga kеltirish mumkin.
Masalan, noto`g`ri kasr ratsional funktsiyani, ko`p hadni ko`p hadga bo`lib, ko`rinishda yozish mumkin. Umumiy holda, noto`g`ri kasr ratsional funktsiya bo`lsa, uni = +
shaklda ifodalash mumkin, bu yеrda butun ratsional funktsiya, to`g`ri ratsional kasr funktsiyadan iborat. funktsiyani osongina intеgrallash mumkin.
Shunday qilib, noto`g`ri kasr ratsional funktsiyani intеgrallashni, to`g`ri kasr ratsional funktsiyani intеgrallashga kеltiriladi.
1). To`g`ri kasr ratsional funtsiyalarni sodda kasrlar ko`rinishida ifodalash va ularni intеgrallash
ya`ni, kvadrat uch qad haqiqiy ildizga ega emas);
butun son, ratsional to`g`ri kasrlarga sodda kasr ratsional funktsiyalar dеyiladi. ( - haqiqiy sonlar).
Birinchi ikki xildagi funktsiyalarni osongina intеgrallash mumkin, ya`ni,
bo`ladi.
Endi ushbu intеgralni hisoblaymiz.
Oldin xususiy hol intеgralni qaraylik. dan to`la kvadrat ajratib, almashtirishdan kеyin quyidagini hosil qilamiz:
bu yеrda . Oxirgi intеgralda jadval intеgralidan foydalanib, natijani hosil qilamiz.
Endi intеgralni hisoblaymiz.
shakl o`zgartirishdan foydalanib, intеgralni quyidagicha yozamiz.
Har qanday ko`phad oson integrallanadi va ratsional funktsiyani integrallash to`gri kasrni integrallashga keltiriladi. Shuning uchun ratsional funktsiyalarning m with(genfunc):
factor(x^3+1);
> with(genfunc):factor((x-1)/(x^3+1));
Kasrni sodda kasrlarga ajratish:
> rgf_pfrac((x-1)/(x^3+1),x);
2-misol. ni sodda ratsional kasrlar yig`indisi ko`rinishiga keltiring.
x4+2x3+x2=x2(x2+2x+1)=x2(x+1)2.
(3) ga asosan quyidagicha:
Noma`lum koeffitsientlarni x ga ma`lum qiymatlar berish yo`li bilan ham topish mumkin bo`lib, ko`p hollarda bu qulaylik tug`diradi.
Oxirgi tenglikda:
x=0 desak, 1=A10+A21+A30+A40 A2 =1;
x=–1 desak, 1=A10+A20+A30+A41 A4 =1;
x=1 desak, 1=4A1+4A2+2A3+A4 4A1+2A3 = –4;
x=–2 desak, 1=–2A1+A2 –4A3+4A4 –2 A1–4A3 = –4;
A1=–2, A2=1, A3=2, A4=1.
Demak, berilgan kasirni sodda ratsional kasirlarga ajratilgan ko`rinishi quyidagicha:
Kasr maxrajini ko`paytuvchilarga ajratish:
> with(genfunc):factor(x^4+2*x^3+x^2);
> with(genfunc):factor(1/(2*x^4+3*x^3+x^2));
Kasrni sodda kasrlarga ajratish:
> rgf_pfrac(1/(x^4+2*x^3+x^2),x);
Shunday qilib, to`g`ri ratsional kasrni integrallash masalasi, (12.3) yoyilmaga ko`ra, integrallanishi jihatidan bir-biridan farq qiladigan quyidagi to`rt xil sodda (elementar) ratsional kasrlarni integrallash masalasiga keltiriladi:
;
bu yerda A0,B0,C0, a,p va q lar berilgan sonlar: 2nN, p 2–4q Int(A0/(x-a),x)=int(A0/(x-a),x);
2) .
> Int(A0/(x-a)^n,x)=int(A0/(x-a)^n,x);
3)
> Int((B0*x+C0)/(x^2+p*x+q),x)=int((B0*x+C0)/(x^2+p*x+q),x);
4)
bu yerda .
Oxirgidan ko`rinadiki, agar
ko`rinishdagi integrallarni ololsak, masala haldir. Agar bu integralda m=1 desak,
bo`ladi.
Endi, bo`lgan holni qaraylik.
Oxirgi integralni bo`laklab integrallaymiz:
Demak,
rekkurrent (qaytma) formulani olamiz.
Endi, m=2,3,…,n qiymatlarni berish natijasida Jn ni topamiz.
Shunday qilib, berilgan ratsional kasrning, yuqoridagi usullar bilan, integralini topa olamiz, ya`ni ratsional kasr integrali elementar funksiyadan iborat bo`lar ekan.
> restart;
> Ik2:=int(1/(t^2+a^2)^m,t);
> m:=1:value(Ik2);
> m:=2:value(Ik2);
> m:=3:value(Ik2);
> m:=4:Ik2:=value(Ik2);
> m:=4:a:=1:Ik2:=value(Ik2);
n=2,3 bo`lganda integralini formula asosida topish.
1) > restart;
> Ik3:=int((A*(t-p/2)+B)/(t^2+a^2)^m,t);
> m:=2:Ik3:=value(Ik3);
> m:=3:Ik3:=value(Ik3);
2) > A:=4:B:=5:p:=6:q:=25:a:=sqrt(4*q-p^2)/2:
> with(student):
> changevar(t=x+p/2, (Ik3, t), x);
3) n=2,3 bo`lganda bevosita topish.
> restart;
> Ik4:=int((4*x+5)/(x^2+6*x+25)^2,x);
> Ik5:=int((4*x+5)/(x^2+6*x+25)^3,x);
3-misol. integralni toping.
Yechish:
hosil bolgan tenglikning chap va o`ng ko`phadlarining darajalari bo`icha mos koeffitsientlarni tenglashtirib quyidagi sistemani tuzamiz:
Sodda kasirlarning koeffitsientlarni topish va integrallash:
> restart;
> f:=x->(1-x^3)/(x^5+x^2);
> y1:=x->A1/x+A2/x^2+A3/(x+1)+(A4*x+A5)/(x^2-x+1);
> p:=simplify(y1(x));
> pol1:=f(x)*(x^5+x^2); pol2:=p*x^2*(x+1)*(x^2-x+1);
> kp0:=coeff(pol1,x,0)=coeff(pol2,x,0);
> kp1:=coeff(pol1,x,1)=coeff(pol2,x,1);
> kp2:=coeff(pol1,x,2)=coeff(pol2,x,2);
> kp3:=coeff(pol1,x,3)=coeff(pol2,x,3);
> kp4:=coeff(pol1,x,4)=coeff(pol2,x,4);
> k:=solve({kp0,kp1,kp2,kp3,kp4},{A1,A2,A3,A4,A5});
> A1:=0; A4:=-2/3; A3:=2/3; A5:=-2/3; A2:=1;y1(x);
> int(y1(x),x);
Topilgan koeffitsientlar asosida berilgan kasirni sodda kasirlarga ajratilgan ko`rinishin yozamiz:
Bebosita sodda kasirlarga ajratish:
> factor(x^5+x^2);
> with(genfunc): rgf_pfrac((x^6+1)/(x^5+x^2), x);
> Int((x^6+1)/(x^5+x^2), x)=int((x^6+1)/(x^5+x^2),x);
Ba`zi bir trigonometrik ifodalarni integrallash
1. integralda R o`z argumentlarining ratsional funksiyasi bo`lsin. U holda, bu integralda umumiy trigonometrik almashtirish deb ataluvchi
almashtirish yordamida ratsional funksiya integraliga kelinadi. Haqiqatdan ham,
ekanligini e`tiborga olsak,
,
bu yerda - ratsional funksiya.
1-misol. Bu almashtirish yordamida integrallar jadvalidagi 16-formulani keltirib chiqarish mumkin:
17-formula esa ekanligidan va 16-formuladan kelib chiqadi.
2-misol. integralni toping.
1) o`zgaruvchini almashtirish yordamida integralni topish.
> restart;
> with(student):
IA13:=changevar(x=2*arctan(t),Int(1/(1+sin(x)+cos(x)),x),t);
> IA13:=value(%);
> IA13:=changevar(t=tan(x/2), (IA13, t),x);
2) Bevosita integrallash.
> restart;
> Int(1/(1+sin(x)+cos(x)),x)=int(1/(1+sin(x)+cos(x)),x);
2. = , R sinx ga nisbatan toq ratsional funksiya.
Bu yerda ham umumiy almashtirishdan yoki qulayroq bo`lgan cosx=t dan foydalanish mumkin.
3-misol. bu integral sinx ga nisbatan toq:
= = -
yordamida integralni cosx=t almashtirish bilan topamiz.
=
1) o`zgaruvchini cosx=t kabi almashtirish bilan integralni topish.
> restart;
> with(student):
> IT4:=changevar(cos(x)=t,Int(sin(x)^3/(cos(x)-3),x),t);
> IT4:=value(%);
> IT4:=changevar(t=cos(x), (IT4, t),x);
2) Bevosita integrallash.
> restart;
> Int(sin(x)^3/(cos(x)-3),x)=int(sin(x)^3/(cos(x)-3),x);
= integralda R cosx ga nisbatan toq ratsional funksiya.
Bu integral uchun ham yuqoridagi umumiy almashtirishni qilib ratsional funksiya integraliga kelish mumkin. Ammo, bu yerda sinx=t almashtirish (o`rniga qo`yish) qulayroq, chunki cosxdx=d(sinx) dir.
4-misol. bu integral cosx ga nisbatan toq:
= = -
1) o`zgaruvchini sinx=t almashtirish yordamida integralni topish.
> restart;
> with(student):
> IT5:=changevar(sin(x)=t,Int(cos(x)^3/sin(x)^4,x),t);
> IT5:=value(%);
> IT5:=changevar(t=sin(x), (IT5, t),x);
2) Bevosita integrallash.
> restart;
> Int(cos(x)^3/sin(x)^4,x)=int(cos(x)^3/sin(x)^4,x);
integralda R- o`z argumentlarining ratsional funksiyasi
bo`lib, sinx va cosx larga nisbatan juft funktsiya bo`lsa:
Quyidagich almashtirish qilamiz.
,
5-misol. da juft bo`lgani uchun integralni tgx=t almashtirish yordamida topamiz.
1) o`zgaruvchini tgx=t almashtirish yordamida integralni topish.
> restart;
> with(student):
> IT8:=changevar(tan(x)=t,Int(1/(1+cos(x)^2),x),t);
> IT8:=value(%);
> IT8:=changevar(t=tan(x), (IT8, t),x);
2) Bevosita integrallash.
> restart;
> Int(1/(1+cos(x)^2),x)=int(1/(1+cos(x)^2),x);
6-misol. da sinx va cosx larga nisbatan juft funktsiya bo`lgani uchun integralni tgx=t almashtirish yordamida topamiz.
Ekanini etiborga olib,
=
=
1) o`zgaruvchini tgx=t almashtirish yordamida integralni topish.
> restart;
> with(student):
> IT9:=changevar(tan(x)=t,Int(1/(sin(x)^2-
4*sin(x)*cos(x)+ 5*cos(x)^2),x),t);
> IT9:=value(%);
> IT9:=changevar(t=tan(x), (IT9, t),x);
2) Bevosita integrallash.
> restart;
> Int(1/(sin(x)^2-4*sin(x)*cos(x)+5*cos(x)^2),x)= int(1/(sin(x)^2-4*sin(x)*cos(x)+5*cos(x)^2),x);
5. , R –ratsional funksiya. umumiy almashtirishdan foydalanish mumkin. Ammo qulayroq bo`lgan
almashtirishdan foydalansak,
ga kelamiz, bu yerda - ratsional funksiya.
7-misol. | |=
= =
=|t=tgx|=
1) o`zgaruvchini tgx=t almashtirish yordamida integralni topish.
> restart;
> with(student):
> IT7:=changevar(tan(x)=t,Int(1/(tan(x)+1),x),t);
> IT7:=value(%);
> IT7:=changevar(t=tan(x), (IT7, t),x);
2) Bevosita integrallash.
> restart;
> Int(1/(tan(x)+1),x)=int(1/(tan(x)+1),x);
8-misol. | |=
= =|t=tgx|=
1) o`zgaruvchini tgx=t almashtirish yordamida integralni topish.
> restart;
> with(student):
> IT10:=changevar(tan(x)=t,Int(tan(x)^3,x),t);
> IT10:=value(%);
> IT10:=changevar(t=tan(x), (IT10, t),x);
2) Bevosita integrallash.
> restart;
> Int(tan(x)^3,x)=int(tan(x)^3,x);
9-misol. tgx=t almashtirish yordamida integralni topish
> restart;
> with(student):
> IT12:=changevar(tan(x)=t,int(tan(x)^5,x),t);
> IT12:=changevar(t=tan(x), (IT12, t),x);
10-misol. bu integralni topishda yuqoridagilardan farqli quyidagicha almashtrish qilamiz:
Bu holda
=
1) o`zgaruvchini almashtirish yordamida integralni topish.
> restart;
> with(student):
> IT13:=changevar(2+3*sin(2*x)=t,
int(cos(2*x)/(2+3*sin(2*x))^(2/3),x),t);
> IT13:=changevar(t=2+3*sin(2*x), (IT13, t),x);
2) Bevosita integrallash.
> restart;
> Int(cos(2*x)/(2+3*sin(2*x))^(2/3),x)=
int(cos(2*x)/(2+3*sin(2*x))^(2/3),x);
3. Sinus va kosinus toq darajali bo`ganda integrallash
a)
bu yerda t=cosx.
b)
bu yerda t=sinx.
> restart;
> IT3m:=Int(sin(x)^(2*m+1),x)=int(sin(x)^(2*m+1),x);
> m:=1:IT3m;
> m:=2:IT3m;
11-misol.. integralni hisoblang.
YEchish. va ekanligini hamda
almashtirish kiritib, quyidagini hosil hilamiz:
> restart;
> IT5m:=Int(sin(x)^3*cos(x)^4,x)=int(sin(x)^3*cos(x)^4,x);
4. Sinus va kosinus juft darajali bo`ganda integrallash
Bunday integralda darajani pasaytirish formulalaridan foydalanish mumkin:
a) ;
b) .
12-misol.
.
> restart;
> IT2m:=Int(sin(x)^(2*m),x)=int(sin(x)^(2*m),x);
> m:=1:IT2m;
> m:=2:IT2m;
|
