Omonov shahzod shoimovich

II BOB. Yоriq-g’оvаk muhitlаrdа аnоmаl mоddа kо’chishi masalalarini sonli yechish usullari
2.1. Kasr tartibli hosilalar ta’riflari
Riman-Liuvill kasr hosilali integralining ta'rifi
Ushbu bo'limda biz integralning ko'rinishlaridan biri bo’lgan Rimann-Liuvill kasr integralining ta'rifini kiritamiz. n – karrali integral uchun quyidagi formula
(2.1)
Biz uni matematik induksiya metodi bilan isbotlaymiz.
n = 1 bo‘lganda (1) tenglik uchun quyidagi tenglik to‘g‘ri bo‘ladi:

n=k bo‘lganda (1) tenglik uchun (2) o‘rinli bo‘ladi:
(2.2)
Bu yerda chap tomonda k-karrali integral.
(1) tenglik n=k+1 da ham to‘g‘ri ekanligini isbotlaymiz, ya'ni
(2.3)
(3) tenglikka kuchli bo‘lgan quyidagi tenglikka ega bo‘lamiz:
(2.4)
Dirixle formulasiga ko'ra integralning tartibini o'zgartiramiz va ichki integralni topamiz:


Tenglik isbotlandi.
Ta’rif. φ(x) ϵ L₁(a, b) berilgan bo‘lsin. U holda quyidagi integrallar
(2.5)
(2.6)
o‘ng tomonli (2.5) va chap (2.6) tomonli a – kasr tartibli Riman-Liuvill integrali deyiladi.
Ta’rif. [a; b] oraliqda berilgan har bir formuladan olingan f(x) funksiya uchun
(2.7)
(2.8)
o‘ng tomonli (2.7) va chap (2.8) tomonli α – tartibli Riman-Liuvill kasr hosilasi deyiladi.
Gryunvald-Letnikov kasr hosilasi ta’rifi
Kasr tartibli differensial va integral ta’rififga mos ravishda quyidagi formulalarni yozamiz:
(2.9)
va
(2.10)
(2.9) va (2.10) formulalarni birlashtiramiz.
Ta’rif. Kasr integral-differensial tenglamasini formulasini yozamiz, ya’ni
(2.11)
bu yerda q – hosila tartibi. Bunday ko‘rinishdagi hosila Gryunvald-Letnikov kasr hosilasi deyiladi.
Izoh. Yig‘uvchi funksiyalarning yigindisi Gryunvald-Letnikov va Riman-Luivill kasr hosilalari ta'riflarining ekvivalentligi tufayli Riman-Luivill kasr hosilasining barcha isbotlangan xossalari ushbu Grunvald-Letnikov funksiyalari hosilasi uchun ham o‘rinli.
Kasr hosilalarining ekvivalent bo‘lmagan har xil ta'riflari mavjud: Gryunvald-Letnikov, Veyl, Kaputo, Riman-Liuvill va boshqalar [4, 10].
Kasr tartibli hosilalarda differensial tenglamalarni yechishning ayirmali usullari [1–6] da koʻrib chiqilgan; [7] va [8] kasrli differentsiallash operatorlari bilan issiqlik tenglamasi uchun chegaraviy masalalarni yechishning sonli usullariga bag'ishlangan.