Riman-Liuvill ma’nosidagi kasr tartibli hosilalarni approksimatsiyalash Oraliqda u(t) funksiyaning Riman-Liuvill ma’nosidagi kasr tartibli hosilasini ko‘rib chiqamiz [9].
(1.12)
bunda 0 < α < 1.
Biz (1) tenglikni quyidagi shaklda ifodalaymiz
, где
Biz [0,T] oralig'ida to'rni kiritamiz
U holda
(2.13)
va ni topamiz:
(2.14)
Bu yerda
(2.15)
(2.16)
(2.17)
(2.13) ga (2.14) va (2.15) ni almashtirib, quyidagiga ega bo‘lamiz:
bunda
(2.18)
Shartni inobartga olib, nihoyat, 0 < α ≤ 1 bo'lgan holatda (2 – α) – tartibli Riman – Liuvill kasr hosilasining ayirmali approksimatsiyasini olamiz.
Bu yerda (2.16) va (2.17) ga muvofiq hisoblanadi.
koeffitsiyent uchun quyidagi tengliklar o‘rinli:
2.19
(2) ga (3) va (4) ni qo‘yib, (9) ni hosil qilamiz:
(2.20)
Shunday qilib,
Kaputo ma’nosidagi kasr tartibli hosilalarni approksimatsiyalash Amaliy qo‘llanmalar uchun eng katta qiziqish Kaputo ma’nosida butun bo‘lmagan tartibli hosilalarning ta’rifidir. Ushbu ta’rifning afzalligi tartiblari butun bo‘lmagan integro-differensial tenglamalarni yechishda boshlang‘ich va chegaraviy shartlar masalasini amaliy qo‘llash uchun yagona yechimdir.
Kaputo kasr tartibli hosilasini ko'rib chiqamiz.
bunda . при
U holda
Shunday qilib, kasr hosilasining koordinatasi 𝑡𝑘 bilan nuqtadagi ayirma analogini quyidagicha berishi mumkin.
(2.21)
Quyidagi tenglamani qaraymiz:
(2.22)
Bu yerda 𝑇 > 0, – 𝑡 o'zgaruvchisiga nisbatan Kaputo kasr hosilasi.
(2.22) uchun boshlang‘ich (2.23) va chegaraviy shartlar (2.24) kiritiladi:
(2.23)
(2.24)
muhitda x o‘qi bo‘yicha qadam va t vaqt bo‘yicha to‘rni kiritamiz:
To‘rdagi qiymatlarni bilan belgilaymiz,
,
(2.21) formuladan foydalanib, boshlang'ich-chegaraviy masala (2.22) – (2.24) uchun ayirmali sxemani olamiz.
Quyidagi belgilashni kiritamiz
Yangi kiritilgan belgilashlarni hisobga olib, ayirmali sxemani qayta yozamiz:
Bizda quyidagi tengliklarga ega bo‘lamiz:
Shunday qilib, biz qiymatlarni hisoblash uchun rekkurent formulani hosil qilamiz:
Kiritilgan belgidan foydalanib, biz sonli yechimni progonka usuli bilan ketma-ket hisoblash formulasini olamiz [3]:
