Riman-Liuvill ma’nosidagi kasr tartibli hosilalarni approksimatsiyalash Oraliqda u(t) funksiyaning Riman-Liuvill ma’nosidagi kasr tartibli hosilasini ko‘rib chiqamiz [9].
(1.12)
bunda 0 < α < 1.
Biz (1) tenglikni quyidagi shaklda ifodalaymiz
, где
Biz [0,T] oralig'ida to'rni kiritamiz
U holda
(2.13)
va ni topamiz:
(2.14)
Bu yerda
(2.15)
(2.16)
(2.17)
(2.13) ga (2.14) va (2.15) ni almashtirib, quyidagiga ega bo‘lamiz:
bunda
(2.18)
Shartni inobartga olib, nihoyat, 0 < α ≤ 1 bo'lgan holatda (2 – α) – tartibli Riman – Liuvill kasr hosilasining ayirmali approksimatsiyasini olamiz.
Bu yerda (2.16) va (2.17) ga muvofiq hisoblanadi.
koeffitsiyent uchun quyidagi tengliklar o‘rinli:
2.19
(2) ga (3) va (4) ni qo‘yib, (9) ni hosil qilamiz:
(2.20)
Shunday qilib,
Kaputo ma’nosidagi kasr tartibli hosilalarni approksimatsiyalash Amaliy qo‘llanmalar uchun eng katta qiziqish Kaputo ma’nosida butun bo‘lmagan tartibli hosilalarning ta’rifidir. Ushbu ta’rifning afzalligi tartiblari butun bo‘lmagan integro-differensial tenglamalarni yechishda boshlang‘ich va chegaraviy shartlar masalasini amaliy qo‘llash uchun yagona yechimdir.
Kaputo kasr tartibli hosilasini ko'rib chiqamiz.
Shunday qilib, kasr hosilasining koordinatasi 𝑡𝑘 bilan nuqtadagi ayirma analogini quyidagicha berishi mumkin.
(2.21)
Quyidagi tenglamani qaraymiz:
(2.22)
Bu yerda 𝑇 > 0, – 𝑡 o'zgaruvchisiga nisbatan Kaputo kasr hosilasi.
(2.22) uchun boshlang‘ich (2.23) va chegaraviy shartlar (2.24) kiritiladi:
(2.23)
(2.24)
muhitda x o‘qi bo‘yicha qadam va t vaqt bo‘yicha to‘rni kiritamiz:
To‘rdagi qiymatlarni bilan belgilaymiz,
,
(2.21) formuladan foydalanib, boshlang'ich-chegaraviy masala (2.22) – (2.24) uchun ayirmali sxemani olamiz.
