Omonov shahzod shoimovich

k - bosqichidagi Kox egri chizig'ining uzunligi teng

Chunki bu egri chiziqning haqiqiy uzunligi cheksiz katta. Chizg’ich yordamida uzunlikni o'lchashda faqat aniq uzunlik aniqlanadi, chunki fraktal egri chizig'ining ba'zi qismlari har doim chizg’ichning eng kichik bo'linmasidan kamroq bo'ladi. Ko'rinib turgan uzunlikning qiymati o'lchov vositasining o'lchamlari ortishi bilan ortib borishi aniq. Shunday qilib, fraktal egri chiziq uzunligini aniq belgilash mumkin emas.
Shu munosabat bilan fraktalning xususiyatlarini miqdoriy tavsiflash uchun fraktalning o'lchamidan foydalaniladi.
Hammaga tanish bo'lgan o'lchov (biz keraksiz tushuntirishlarga kirmasdan, uni topologik o'lchov deb ataymiz) faqat butun sonlarni olishi mumkin:: chiziqning o'lchami 1, tekislikning o'lchami 2 va bo'shliqning o'lchami 3 ga teng. Topologik o'lchov Kox egri chizig'i, albatta, birlikka teng. Ammo Kox egri chizig'i tekislikni qanchalik "zich" to'ldirishini taxmin qilish uchun Hausdorff-Besikovich o'lchamini kiritish mumkin. (F. Hausdorff, 1918 va AS Besicovich).
Amalda bu qiymat egri chiziq uzunligini kamayib boruvchi eritma bilan kompas yordamida o'lchash yo'li bilan aniqlanishi mumkin (1.2-rasmda berilgan).

2.3-rasm (Egri chiziq uzunliklarini o'lchash)

egri chiziqning uzunligi taxminan singan chiziqning uzunligi sifatida baholanadi - kompaslar yordamida yaratilgan "shrift" nuqtalari. " shrift " soni qayerda ekanligi aniq . Oddiy silliq (muntazam) egri chiziqlar bo'lsa, pasayganda , uzunlik cheklangan chegaraga - egri chiziqning haqiqiy uzunligiga intiladi .
Shuning uchun, kichik chegarada
(2.25)
Fraktal egri chiziqda, yuqorida aytib o'tilganidek, (1.3b-rasm). Ma'lum bo'lishicha, bunday egri chiziqlar uchun kichik qaerdan
( 2.26)
ko'rsatkich qayerda va Hausdorff - Besikovich o'lchovi deb ataladi .
Shunday qilib, agar eritma bilan kompas ishlatilsa , Kox egri chizig'ining uzunligi o'lchanadi va quydagiga ega bo’lamiz

bundan



2.4-rasm. Har xil asimptotiklar

Shunday qilib, Kox egri chizig'ining Hausdorff o'lchami

Ushbu misol fraktal egri chiziqning kasr o'lchamiga ega ekanligini ko'rsatadi. Darhaqiqat, "fraktal" atamasi shu holatga bog'liq: lotincha fractus so'zi "buzilgan", "kasr" degan ma'noni anglatadi.
(2.25) dan kelib chiqadiki, muntazam egri chiziq uchun , ya'ni Hausdorff o'lchami topologik o'lchov bilan mos keladi.
Fraktal egri chiziqning o'lchamining bir va ikkita oralig'ida bo'lishi uning chiziq va tekislik o'rtasida oraliq pozitsiyani egallashini anglatadi. Silliq egri chiziq aynan bir o'lchovli fazoni to'ldirsa, fraktal egri chiziq cheksiz tarmoqlanishi tufayli bir o'lchovli fazo chegarasidan tashqariga chiqadi.
Hausdorff o'lchami fraktal to'plamning Evklid fazosini qanchalik "zich" to'ldirishining miqdoriy o'lchovidir.
Tekislik bo'ylab harakatlanadigan Broun zarrasining traektoriyasi o'lchovga ega ekanligini ko'rsatish mumkin , ya'ni u butun ikki o'lchovli bo'shliqni deyarli to'liq to'ldiradi.
E'tibor bering, qiymat ko'rib chiqilayotgan egri chiziqni to'liq qoplaydigan diametrli doiralar soni sifatida ham belgilanishi mumkin . o’lchamni hisoblashda egri chiziqni doiralar bilan emas, balki kamayib boruvchi kvadratchalar bilan qoplash uchun ishlatilishi mumkin. Agar fraktal to'plam uch o'lchovli Evklid fazosiga kiritilgan bo'lsa, u sharlar yoki kublar bilan qoplangan.
Fraktal to'plamlar o'lchamining bir qator boshqa ta'riflari mavjud. Shunday qilib, asl to'plamni qoplash uchun zarur bo'lgan fraktalning marta qisqartirilgan nusxalari soni bo'lsin. Keyin

ko'rsatkich qayerda o'xshashlik o'lchovi deyiladi .
Misol uchun, uchun Sierpinski gilami uchta uchburchak bilan qoplanishi mumkin, bu asl to'plamning 2 barobar qisqartirilgan nusxalari. Demak,

bunda
Ko'rsatish mumkinki, bu holda o'xshashlik o'lchovi Hausdorff-Besikovich o'lchamiga to'g'ri keladi.
[12] da ifloslangan er osti suvlari migratsiyasining chiziqli bo'lmagan jarayonlarini matematik modellashtirish masalalari ko'rib chiqiladi, ularni massa almashinuvi nazariyasidagi klassik yondashuv doirasida tasvirlab bo'lmaydi. Masshtab oʻzgarmasligi sababli chiziqli boʻlmagan effektlarning fazo-vaqt qonuniyatlarini oʻrganish uchun chiziqli boʻlmagan migratsiyaning model differensial tenglamasi uchun lokal boʻlmagan chegaraviy masala toʻgʻri qoʻyilgan.
Klassik holatda, tabiiy g'ovakli muhitda yer osti suvlari oqimi bilan ifloslanishning g'ovak bo'shlig'ining oddiy ideallashtirilgan tasvirlari doirasida o'tkazish jarayoni va ma'lum bir sxema bo'yicha joylashish printsipining haqiqiyligi differensial tenglamalar tizimi bilan qoniqarli tarzda tasvirlanadi [13] .
- harakat tenglamalari:
(2.27 )
- saqlanish tenglamalari:
(2.28)
- holat tenglamalari:
(2.29)
Bu yerda , yer osti suvlari oqimining tezligi; - bosim; t vaqtidagi nuqtadagi yer osti suvlari oqimidagi ifloslantiruvchi moddalar kontsentratsiyasi; - tuproqning g'ovakligi; - konvektiv diffuziya koeffitsienti; - bosim; - qatlam bosimi; - elastiklik koeffitsienti; - suyuqlikning zichligi; qattiq fazadagi moddaning konsentratsiyasi; massa uzatish koeffitsienti hisoblanadi.
Gravitatsion va diffuziya kuchlarining birgalikdagi ta'sirini hisobga olgan (2.27) - (2.29) tenglamalari tufayli yer osti suvlarining ifloslanishining bir o'lchovli jarayoni parabolik turdagi chiziqli bo'lmagan ikkinchi tartibli qisman differensial tenglama bilan tavsiflanadi:
(2.30)
Empirik Furye va Fik qonunlari doirasidagi umumlashtirilgan differensial tenglama (2.30) ifloslantiruvchi moddalarning filtratsiya oqimi va gidrodinamik tomonidan o'tkazilishidagi farq tufayli atrof-muhitning istalgan nuqtasida ifloslantiruvchi moddalar kontsentratsiyasining vaqt o'zgarishi jarayonini tavsiflaydi. Umumlashtirilgan tenglama (2.30) asosida qurilgan turli xil boshlang'ich-chegaraviy masalalarning yechimlari g'ovak bo'shliqning geterogen tuzilishining migratsiya jarayonlariga ta'sirini hisobga olmaydi va natijada chiziqli bo'lmaganlarni aks ettirmaydi. ularda paydo bo'ladigan effektlar, masalan, "xotira effektlari" va tarqalish tezligining chekliligidir [12].
Migratsiya jarayonida yuzaga keladigan chiziqli bo'lmagan hodisalarni matematik modellashtirishning zamonaviy usuli fraktal geometriya g'oyalarini fraksiyonel integral-differensialining formalizmi bilan birgalikda qo'llaydi. Tuproq va tuproq g'ovak tuzilishi fraktal o'lchamli to'plamni tashkil etuvchi vosita sifatida yaxshi talqin qilinadi .
vaqt oralig'ida yer osti suvlarining ifloslanishi konsentratsiyasining qiymatiga o'zgargan bo'lsin. Fraktal tahlil usullariga muvofiq [14] tezligi nochiziqli migratsiya jarayonida ifloslanish kontsentratsiyasining o'zgarishi, Riemann-Liouville kontsentratsiyasi ma'nosida fraksiyonal hosila sifatida ta'riflangan gipoteza qabul qilinadi


(2.31)
Bu yerda kasr hosilasining tartibi. g'ovakli muhitning keng sinflari uchun bu taqribiy olinadi
Gipoteza (2.31) bajarilganda, (2.30) tenglamaning umumlashtirilishi parabolik turdagi nolokal ikkinchi tartibli qisman differensial tenglama bo'lib, kasr vaqt hosilasi [15] bo'ladi.
(2.32)
fraktal diffuziya koeffitsienti qayerda ; - fraktal tezlik.
Ifloslanishning chiziqli bo'lmagan fraktal migratsiyasining aniq tavsifi uchun o'zgartirilgan boshlang'ich shartlar model migratsiya tenglamasiga (2.32) qo'shiladi: Koshi tipidagi shart [15]
(2.33)
yoki mahalliy vaznli dastlabki holat

(2.33) shartlarga ko'ra, g'ovakli muhitning fraktal o'lchamini aks ettiruvchi kasr ko'rsatkichi vaqtning boshlang'ich momentida ifloslangan er osti suvlari oqimi uchun ochilgan g’ovakli kanallar yoki shoxchalar nisbatiga mos keladi. Amaliy masalalarni yechishda Koshi tipidagi dastlabki shartlardan (2.32) foydalanish amaliy hisob-kitoblar uchun yaroqsiz bo'lib chiqadi. Bu muammoni yechish uchun qoida tariqasida Riemann-Liouville kasr hosilasi Kaputo normalangan hosilasi bilan almashtiriladi va differensial tenglama klassik Koshi boshlang‘ich sharti bilan ko‘rib chiqiladi [15].

[16] da g'ovakli muhit orqali oqimning Sizish modeli taklif qilingan. G'ovakli muhit fraktal ob'ekt bo'lib, uning tuzilishi juftlashadigan yuzalar orasidagi bo'shliq bilan belgilanadi. Muhitning burilish va g'ovakligining fraktal o'lchamlarini aniqlash usullari keltirilgan.
Eng oddiy holatda masala bayoni quyidagi shaklni oladi: tenglamani yechish

Boshlang’ich shartlar bilan

_{va chegara shartlari}

Kasr hosilalari parametrlarining qiymatiga qarab, tuzilgan masala yechimlari turli fizik jarayonlarni tavsiflaydi.
Bunda fiksirlangan siffuziyani kuzatamiz, - oddiy, klassik diffuziya, aniq superdiffuziya, - da klassik to'lqin tenglamasini olamiz.
Bunda fiksirlangan bunda da klassik diffuziya, da superdiffuziya effektlari va da klassik ko’chish kuzatiladi.
[17] da kasr diffuziya tenglamasining birinchi chegaraviy masalasini o'rganishga bag'ishlangan:

bu yerda 0 - tartibli kasr differensiallash operatori (Riman-Liouvil ma'nosida) [18]. Bunday chegaraviy muammolar ko’chishmi fizik jarayonlarini tavsiflashda va yuqori g’ovakli fraktal muhitda suyuqlik filtratsiyasini o'rganishda paydo bo'ladi.
Diffuziya tenglamasi

yo'qotishlar bilan ba'zi fizik tizimning vaqtini va ko'rsatkichni tasvirlaydi, kasr hosilasi jarayonning butun vaqti davomida saqlanib qolgan tizim holatlarining nisbatini ko'rsatadi.
Bir tomondan "to'liq xotira" tizimi va boshqa tomondan Markov tizimlari o'rtasida oraliq pozitsiyani egallagan "qoldiq xotira" ga ega tizimlar sifatida tasniflash mumkin .
Umumiy holda, ko'pgina boshqa integral-differensial tenglamalar singari, kasr-integral va kasr-differensial tenglamalarni ham aniq yechish mumkin emas. Shu munosabat bilan ularni yechishda sonli usullardan foydalanish mumkin.
[19] da ko'p o'lchovli sohada kasr tartibli diffuziya tenglamasi uchun quyidagi birinchi chegaraviy masala ko'rib chiqiladi.
Sohaning D chegarasi bo'lgan o'lchamli parallelepiped bo'lgan silindrda quyidagi masala ko'rib chiqilgan:
(2.37)
(2.38)
(2.39)






va funksiyalarining kasr hosilasi,
, bu yerda ularning ga nisbatan va ga nisbatan tartibli hosilalari bilan birga uzluksiz bo‘lgan funksiyalar sinfi bo‘ladi . Ikkinchi darajali yaqinlashishning ayyirmali sxemasini qurishda bunday biroz ortiqcha baholangan silliqlik shartlari talab qilinadi.
Tenglama uchun bir o'lchovli sxema (LBS) tuzilgan. LBS yechimi uchun apriori taxmin olinadi. Ko'rib chiqilayotgan tenglama uchun LBS ning barqarorligi va yaqinligi isbotlangan.
Ba'zi ishlarda differensial yoki integro-differensial tenglamalar uchun masalalarni yechishning sonli usullari qo'llaniladi.
[20] da fraktal xossaga ega boʻlgan gʻovak muhitda suyuqlikni Sizish jarayonini tavsiflovchi tenglamaning hosilasi berilgan. Tenglamaning tuzilish diffuziyasi va tasodifiy xarakat jarayonlarini tavsiflovchi ma'lum tenglamalar tuzilishi bilan bir xil ekanligi ko'rsatilgan. Tenglamaga kiritilgan parametrlarning fizik talqini va ularni eksperiment bilan aniqlash usuli berilgan.
Fraktal muhitda moddaning ko’chishini tavsiflovchi asosiy tenglama [21] (yoki -tenglama) tenglamadir.
(2.40)
nuqtada materiyaning tarqaladigan zarrachasini topishning fluktuatsiya bilan tekislangan ehtimollik zichligi qayerda ; - Hausdorff bo'yicha fraktal o'lcham; - fraktal muhitning anomal o'tkazuvchanligini tavsiflovchi parametrlar.
g’ovak muhitdagi suyuqlik oqimining zichligi va g’ovakligi va fraktal maydonlarning o'tkazuvchanligi
Suyuqlik massasining saqlanish qonuni quyidagi differensiyal shaklda yoziladi
(2.41)
bu yerda suyuqlikning zichligi
(2.42)
- sizish tezligi orqali suyuqlik oqimining zichligi aniqlangan:
(2.43)
Darsi qonunini hisobga olgan holda:

bu yerda - yopishqoqlik, - o'tkazuvchanlik, - bosim, (2.43) dan olingan
(2.44)
(2.41), (2.42), (2.43) ga muvofiq tebranishlar bilan tekislangan qiymatlar uchun:
(2.45)
(2.46)
(2.47)
Silliqlangan funktsiyalar ta'rifiga muvofiq (2.41) quyidagilar qabul qilinadi:
(2.48)
(2.49)
bu erda va g'ovaklik va o'tkazuvchanlik sohalari uchun Hausdorff o'lchami va koordinatalarga bog'liq bo'lmagan doimiylar.
(2.46)–(2.49) ni hisobga olgan holda sferik koordinatalar sistemasidagi (2.45) ifoda shaklni oladi.
(2.50)
Faraz qilish (2.50)
(2.51)
topildi:
(2.52)
qayerda
(2.52) tenglamani SP - tenglama (2.40) ko'rinishida yozish mumkin:
(2.52)
qayerda
Shunday qilib, fraktal g'ovakligi va o'tkazuvchanligi (2.52) bo'lgan muhitdagi sizish tenglamasi SP - tenglama (2.52) shaklida mos keladi, agar ushbu tenglamaning parametrlari quyidagicha talqin qilinsa:
(2.53)
Bir qator ishlar fraktal tuzilishga ega muhitda moddalarni modellashtirish va ko’chish muammosiga hamda kasr hosilali tenglamalarni sonli tahlil qilishga bag‘ishlangan [23,24]. Ishlar [25,26] yer osti suvlarining ifloslanishi va geomigratsiya jarayonlarini modellashtirish muammolariga bag'ishlangan. Fraktal tuzilishga ega muhitda radon o'tkazish jarayonlari [22] da tahlil qilingan.
Moddalarni ko’chish jarayonlariga tatbiq qilinganidek, kasrli differensial tenglamalar quyidagi monografiyalarda tahlil qilingan [27,28,29].
Fraktal tuzilishga ega muhitda moddalarni Sizish va ko’chish modellashtirish jarayonida biz yuqoridagi ishlarning metodlari va tamoyillaridan foydalanamiz.
Yuqorida keltirilgan materialdan ko'rinib turibdiki, moddaning anomal ko'chishi kasr hosilalari bilan differensial tenglamalar bilan tavsiflanadi. Ushbu tenglamalarning yechimini olish uchun samarali yechish usullarini qo'llash kerak. Ko'rinib turibdiki, eng oddiy hollarda yechimni analitik yo'l bilan olish mumkin. Biroq, ko'pgina muammolarning echimini sonli usullar yordamida olish mumkin.
Makro muhitda (uzluksiz muhitning yaqinlashuvida) anomal diffuziya jarayonlarini tavsiflash uchun matematik model xususiy kasr hosilali tenglamalarga asoslanadi. Bunday holda ham fazoviy, ham evolyutsion kasrli differensial operatorlar paydo bo‘lishi mumkin.
Fazodagi bir o‘lchovli anomal diffuziyaning matematik modeli quyidagi kasrli differensial tenglama bilan ifodalanadi:
(2.54)
Bu yerda c(x,t) – hususiy differensiallanuvchi hajm konsentratsiyasi, D – diffuziya koeffitsienti (D > 0), α va γ fazo va vaqtga nisbatan kasr hosilalarining tartibini xarakterlovchi parametrlar bo‘lib, mos ravishda 0 < γ < 1 va 1 < α < 2 fizik shartlarni qanoatlantiradi.
(2.55)
bu yerda С₊ ≥ 0, С_– ≥ 0 va С₁ + С₂ = 1.
Ixtiyoriy tartiblarning zarur bir tomonlama kasr hosilalari α n γ Liuvill va Veyl kasr hosilasi uchun Riman-Liuvill formulalari bilan aniqlanadi:
(2.56)
(2.57)
(2.58)
Diffuziya barcha bir o‘lchovli fazoda ko‘rib chiqiladi (Koshi masalasi yechiladi). fazoda har qanday manfiy bo'lmagan funksiya boshlang‘ich shart sifatida berilishi mumkin, ya’ni, , shu jumladan, . Ikkinchi holda, ko‘pincha C₀ = 1 qabul qilinadi.
(2.54) tenglamadagi γ parametr subdiffuziyaning paydo bo‘lishi uchun javob beradi – α = 2 da (1) tenglama ga bog‘liq bo‘lgan anormal diffuziyani ifodalaydi.
α parametr subdiffuziyaning paydo bo‘lishi uchun javob beradi – γ = 1 da (2.54) tenglama ga bog‘liq bo‘lgan anormal diffuziyani ifodalaydi.
(2.54) tenglamadagi ikkala parametrning kombinatsiyasi qaysi mexanizm ustunligiga qarab anomal diffuziyani subdiffuziya rejimida ham, superdiffuziya rejimida ham (0 < p < 2) ga bog‘lab tavsiflash mumkin. Shubhasiz, α = 2, γ = 1 cheklangan holda (1) tenglama klassik diffuziyani tavsiflaydi.
Kasrli differensial tenglamalarning murakkabligi tufayli ko‘rib chiqilayotgan masalalar sinfining analitik yechimlarini topish qiyin. Shuning uchun ishda masalani yechishning sonli usullari qo‘llanilgan. Masalani yechishda ikki xil usuldan foydalanilgan: chekli aiyrmalar va tasodifiy yurish usuli.
(2.54) tipdagi kasrli differensial tenglamalarni yechishning chekli ayirmali usullari Gryunvald-Letnikov formulalari yordamida fazo va vaqtda mos ravishda h va t qadamlar bilan koordinata to‘rlari bo‘yicha kasr hosilalarini yaqinlashtirishga asoslanadi:
vaqt bo‘yicha kasr hosila uchun,
(2.59)
fazo bo‘yicha chap tomonli kasrli hosila uchun, va
(2.60)
fazo bo‘yicha o‘ng tomonli kasrli hosila uchun
(2.61)
fazo va vaqt va fazo-vaqt to‘rlari berilgan bo‘linsin.
Keyin (2.59) - (2.61) formulalar natijasida (2.54) tenglamaning kasr hosilalari to‘r tugunlarida quyidagicha approksimatsiya qilinadi:
(2.62)
(2.63)
(2.64)
(2.65)
Grunvald-Letnikov normallashtirilgan og'irliklari.
Taqdim etilgan yondashuv kasrli differensial tenglamalar uchun oshkor va oshkormas chekli ayirmali sxemalarini qurish imkonini beradi. Bunday holda, sxemalar vaqt va fazo bo‘yicha birinchi aniqlik tartibiga ega. Shuni ta’kidlash kerakki, kasr hosilalarining nolokal bog‘lanishlari tufayli diskret analog matritsasi siyrak emas. Bu masalaning ushbu sinfi klassik diffuziya masalalaridan sezilarli darajada ajratib turadi.
Kasrli differensial tenglamaning sonli yechimining aniqligi tartibini oshirish uchun ushbu maqolada biz kasrli panjaralardan foydalanishga asoslangan Runge-Romberg-Richardson usuli g‘oyasidan foydalandik. Bunday holda, masalaning sonli yechimining aniqlik tartibini bittaga oshirish mexanizmiga ega bo‘lgan holda, ixtiyoriy aniqlik tartibiga ega bo‘lgan kasr hosilalari bilan differensial tenglamalarni sonli yechish imkonini beruvchi piramidali algoritmni tuzish mumkin. Natijada, analitik yechimga ega bo‘lgan vakillik masalalari to‘plami bo‘yicha aniqlik tartibini oshirish usullarining samaradorligi "aniqlik - hisoblash xarajatlari" mezoni nuqtai nazaridan tahlil qilindi va taklif qilingan guruhlar oilasi ekanligi ko‘rsatildi. Aniqlik tartibini oshirish algoritmlari haqiqatan ham afzallik beradi va tegishli katakchalar bilan xatoning qiymati qanchalik tez erishilsa, muammoni hal qilishda ishlatiladigan sxemaning aniqlik tartibi shunchalik yuqori bo‘ladi.
Muhim alternativ chekli ayirmali approksimatsiyalash - bu to'rda tasodifiy yurish usulidir. Bunda tegishli siljishlarning ehtimolliklari α, γ, D tenglama parametrlari va h, t to‘r parametrlarini o‘z ichiga olgan kattaliklar to‘plami bilangina to‘liq aniqlanadi. Bu yondashuv klassik diffuziya tenglamasi uchun Monte-Karlo usulining tabiiy umumlashtirishidir. Mikroskopik shaklga ega bo‘lib, u mohiyatan makroskopik bo‘lib qoladi va yakuniy yechimning aniqligi faqat tanlangan simulyatsiyalar soniga bog‘liq (va chegarada sonli yechim aniq bittasiga yaqinlashadi).
Biz (2.62) - (2.65) formulalardan foydalanib, (2.54) tenglamani diskret shaklda yozamiz va hajm konsentratsiyasidan dastlabk nisbiy konsentratsiyaga (yoki zichligiga) o'tamiz, keyin esa nisbiy (umumiy sistemadagi zarrachalar soni) hujayradagi zarrachalar soni (yoki hujayradagi zarrachani topish) ni qabul qilsa, u holda :
(2.66)
(2.67)
(2.68)
(2.68) tenglama nafaqat oldingi dagi qiymatlardan keyingi qatlamda qiymatlarini hisoblash uchun oshkor chekli ayirmali sxemasi algoritmi, balki uni amalga oshirish uchun qo'llanma sifatida ham tushunilishi mumkin, to‘rning tegishli o'tish koeffitsiyentlari bilan to'r bo'ylab tasodifiy yurishi, qoida bo'yicha ularni qayta taqsimlash paytida topiladi:
(2.69)
Ushbu koeffitsientlar tasodifiy yurish modeli uchun zarur bo'lgan p va q ehtimolliklari: p - fazoda sakrash ehtimoli (har qanday nuqtadan chapga yoki o'ngga), q - vaqt ichida sakrash ehtimoli (har qanday oldingi daqiqadan boshlab). xuddi shu nuqta).
(2.68) ifodadagi modelni (2.69) formulaga muvofiq guruhlagandan so'ng fazoda p va q vaqt ichida sakrashning tegishli ehtimolliklarini aniqlash mumkin (m ≥ 2):
(2.70)
Ko'pincha kasr fazoviy hosilaning tomonlardan biriga burilmaganligi (zarrachalarning tizimdagi simmetrik taqsimlanishi) ko'rib chiqiladi. Keyin x qabul qilinadi.
Shuni ta'kidlash kerakki, (2.66) - (2.68) formulalarida (oldingi (2.62) formulada bo'lgani kabi) barcha oldingi vaqtlar uchun cheksiz yig'indisi mavjud (shu jumladan, kabi kuzatishlar boshlanishidan oldinroq bo'lganda). Agar γ <1 bo'lsa, boshlang'ich shart noldan farqli funksiya bo'lsa, masalani sonli yechish uchun chekli ayirmali usulli t vaqtning manfiy qiymatlariga qanday qilib davom ettirish haqida savol tug'iladi. U holda sharti har qanday uchun ishlatiladi, ya'ni, barcha manfiy qatlamlar uchun bir xil taqsimot nol bo'lgani kabi qabul qilinadi. Bunday holda, yig'indisi quyidagi tarzda ayirmali yig'indiga kamayadi: