Omonov shahzod shoimovich

2.3. Anomal modda ko`chishi tenglamalarini soni yechish usullari
Bir jinsli bo'lmagan muhitda moddaning anomal ko’chishi vaqt va fazoda kasr hosilalarini o'z ichiga olgan tenglamalar bilan tavsiflanadi. Bu tenglamalarni yechish uchun kasr hosilalari funksiyalarning o‘zi yoki ularning butun tartibli hosilalari bilan ifodalanishi kerak. Asosan, chiziqli masalalar uchun operatsion usul, xususan, Laplas o'zgartirishlar usuli qo'llanilishi mumkin. Ammo, umumiy holatda, sonli usullar, xususan, chekli ayirmallar usuli qo'llaniladi. Shuning uchun kasr hosilalarini diskretlashtirish masalalari muhim ahamiyat kasb etadi.
Diffuziya muammolarida kasr hosilalardan foydalanish katta qiziqish uyg'otdi [30]. Xuddi shu ishda kasr hosilalarini yaqinlashtirishning ba'zi usullari keltirilgan. Diffuziya masalalarida [31, 32, 33] ishlar kasr hosilalaridan foydalanishga bag'ishlangan. Kasr hosilalarini yaqinlashtirishga qaraganda qiyinroq.
Berilgan nuqtada hosilani sonli hisoblash uchun berilgan nuqta yaqinidagi ma'lumotlardan foydalanish kerak, hosila hisoblash nuqtasi soha chegarasidan qanchalik uzoqda bo'lsa, hosilani hisoblash uchun shuncha ko'p nuqta ishlatiladi.
Kasr hosilalarini aniqlash uchun bir necha formulalarni keltiramiz [34, 35, 36]. Kasr hosilalarining eng mashhur ifodasi Riemann-Liouville formulasi, bu uchun quyidagicha aniqlanadi
(2.71)
bu yerda hosilaning tartibi, ning butun qismi .
Yana bir ta'rif - Grunvald-Letnikov formulasi
, (2.72)

hosilaning tartibi qayerda .

Kasr hosilasining yana bir ta'rifi Kaputo tomonidan taklif qilingan[6].


, (2.73)
bu yerda .
Formula (2.73) (2.71) ga nisbatan bir qator afzalliklarga ega. (2.71) ning eng mashhur va muhim kamchiligi shundaki, Laplas o'zgartirish usulidan foydalanganda hosilaning chegara qiymati pastki chegara nuqtasida paydo bo'ladi . Muayyan muammolarni hal qilishda bu qiymat ko'pincha jismoniy talqinga ega emas. (2.73) formula Laplas o'zgarishlaridan foydalanganda aniq fizzik ma'noga ega bo'lgan nuqtada butun tartibli hosila qiymatini beradi. Bundan tashqari, doimiy qiymatdagi Kaputo hosilasi (2.73) nolga teng, Riemann-Liouville hosilasi esa nolga teng. Bu Caputo va Riemann-Liouville hosilalarining o'ziga xos xususiyatlarini tavsiflaydi. Ularning farqi faqat quyidagi tenglik bilan berilgan. Agar va ichida mavjud bo'lsa, barcha tenglik uchun har qanday uchun

Biz nuqtalar bilan quyidagi to'rni kiritamiz , bu erda panjara qadami.
Kaputo hosilasining taxminiyligini ko'rib chiqing [59]
( 2.74)
Har bir nuqtada (2.74) dan bizda mavjud
(2.75)
Odatdagi taxmin




(2.76)

bu yerda

Endi ikkinchi tartibli yaqinlashuvni ko'rib chiqaylik. Buning uchun har bir nuqtada hisoblashimiz kerak
(2.77)
Integrallarni hisoblash uchun funktsiyaning ikkinchi hosilasi tugun nuqtalari kiritilgan Spline panjarasining tugun nuqtalari bilan mos keladigan chiziqli splaynlar bilan yaqinlashadi va u sifatida belgilangan


(2.78)

bu yerda har bir interval uchun formulalar bilan berilgan

bunda va shaklida berilgan


Shunday qilib, (2.72) ga yaqinlik quyidagi shaklga ega

bu yerda

Natijada, Kaputo hosilasining yaqinlashuvini quyidagicha yozish mumkin

(2.79)

bu yerda - operatorlar

Agar va u holda (2.72) yaqinlik ikkinchi tartibli, ya'ni,
Xuddi shunday yaqinliklarni Riemann-Liouville va Grunvald-Letnikov hosilalari uchun ham kiritish mumkin. Ammo, kelajakda biz faqat Caputo hosilalaridan foydalanamiz, shuning uchun bu taxminlar bu erda berilmaydi. So'nggi paytlarda Kaputo formulasi asosan qo'llanilganiga qaramay, Riemann-Liouville, Grunvald-Letnikov bo'yicha kasr hosilalari qo'llaniladigan ishlar mavjud.
[37] da konvektiv-diffuziya ko’chishning bir o'lchovli tenglamasi ko'rib chiqiladi.
(2.80)


_{bu yerda}

(2.80) ni to`r usuli bilan yechish uchun quyidagi to`r kiritiladi

va vaqt bo'yicha panjara qadamlari .
Kaputo tomonidan aniqlangan vaqtga nisbatan kasr hosilasi


(2.81)
To'rning tugun nuqtasida ( 2.81) integral quyidagicha aniqlanadi


( 2.82)
Vaqtning ma'lum bir nuqtasi uchun hammasi ma'lum. Shuning uchun yig'indi ostidagi shartlar ma'lum. Ularni quydagich belgilash kiritamiz

( 2.82 ) shaklida yozish mumkin

ni aproksimatsiya qilganimizda

Shunga o'xshash aproksimatsiyalar [38, 39, 40, 41] da ishlatilgan.

Yuqorida keltirilgan materialdan ko'rinib turibdiki, differensial tenglamalarni kasr hosilalari bilan yechish uchun turli usullardan foydalanish mumkin. Ko'rib chiqilayotgan muhitning eng universal usuli - bu chekli ayirmalar usuli. Quyida biz turli muammolarni hal qilish uchun ushbu usuldan foydalanamiz.