Ona davlat universiteti fizika-matematika fakulteti

Kompleks sonlar ustida amallar

Agar α=a+ib va β=c+id kompleks sonlar berilgan bo`lsa:

1. 
   Qo`shish va ayirish.
   

α±β=(a+ib)±(c+id)=(a±c)+i(b±d)

2. 
   Ko`paytirish va bo`lish
   

Agar va o`zaro qo`shma sonlar berilgan bo`lsa: ,

1-misol. kompleks sonlarning yig`indisi, ayirmasi, ko`paytmasi va nisbatini toping.

Yechish. 1.

2.

3.

4.

2. Algebraik ko’rinishdagi kompleks sonlar

ustida to’rt amal.

Kompleks sonlar ustidagi amallar ko’phadlar ustidagi amallarni bajarish qoidalari bo’yicha o’tkaziladi, bunda i² har safar -1 ga almashtiriladi.

1. Qo’shish amali. α₁=a₁+b₁i va α₂=a₂+b₂i kompleks sonlarning yig’indisi deb haqiqiy qismi qo’shiluvchi kompleks sonlar haqiqiy qismlarining yig’indisiga, mavhum qismi ularning mavhum qismlarining yig’indisiga teng bo’lgan α kompleks songa aytiladi va u quyidagicha yoziladi:

α=( a₁+ a₂) + (b₁+ b₂)i

Misol: (5-3i) + (3+3i)=(5+3) + (3-3)i= 8

(2+5i) + (-2+5i)=(2-2) + (5+5)i= 10i

2. Ayirish amali. α₁=a₁+b₁i kompleks sondan α₂=a₂+b₂i kompleks sonning ayirmasi deb α₁ va α₂ ga qarama-qarshi bo’lgan – α₂ sonlarning yig’indisidan iborat bo’lgan kompleks songa aytiladi:

α= α₁ + (-α₂)= ( a₁ - a₂) + (b₁ - b₂)i

Misol: (10+2i) – (3-4i)= (10-3) – (2+4)i= 7+6i

(4+5i) – (3+5i)= (4-3) – (5-5)i= 1

3. Ko’paytirish amali. α₁=a₁+b₁i va α₂=a₂+b₂i kompleks sonlarning ko’paytmasi deb

α= α₁× α₂=(a₁a₂ – b₁b₂) + (a₁b₂ + a₂b₁)i

kompleks songa aytiladi. Kompleks sonlarni ko’paytirganda i²=-1, i³=-i, i⁴= i²×i²=1, i⁵=i va hokazo, umuman k butun bo’lganda i^4k=1, i^4k+1=i, i^4k+2=-1, i^4k+3=-i ekanligini e’tiboga olish kerak.

Misol: (5+2i)(3-4i)= 23-14i

(2+i)(2-i)= 4+1=5

4. Bo’lish amali. . α₁=a₁+b₁i kompleks sonning α₂=a₂+b₂i kompleks songa bo’linmasi deb α₁= α× α₂ tenglikni qanoatlantiradigan α kompleks songa aytiladi va u quyidagi formula bilan topiladi:

Misol:

O’rin almashtirish, gruppalash qonuni kompleks sonlarda ham to’g’ri:

(a+bi) + (c+di) = (c+di) + (a+bi)

(a+bi) · (c+di) = (c+di) · (a+bi)

(a+bi) + (c+di) + (e+fi) = (a+bi) + [(c+di) + (e+fi)]