Operatorlar fazosi

Operatorlar fazosi

E va F chizikli fazolar bulib, L(E,F) esa E fazoni F fazoga akslantiradigan barcha chizikli operatorlar tuplami bo’lsin. L(E,F) tuplamda (A+V)x=Ax+Vx tenglik bilan ikkata A va V operatorlarni kushish amalini aniqlash mumkin. Xuddi shuningdek, bu tuplamda A operatorni €R songa kupaytirish amalini xam kuyidagicha aniqlash mumkin: (A)x=Ax

L(E,F) tuplamni kiritilgan amallarga nisbatan chizikli fazo tashkil etishini tekshirish kiyin emas. Masalan, bu fazoning nol elemnet o- nol operator bo’ladi. A operatorga karama-karshi operator bo’ladi. A operatorga karama-karshi operator esa, (-1) A bo’ladi.
Xususiy xolda, agar E=F bo’lsa, ya’ni aniqlanish sohasi E bo’lgan operatorlarning qiymatlar sohasi xam yana E fazoda yotsa, u xolda L(E,F) fazoda operatorlarni kupaytirish amalini xam aniqlash mumkin bo’ladi. Agar A,V€ L(E,F) bo’lsa, (AV) x=A(Vx) tenglik bilan A va V operatorlarni kupaytirishga nisbatan birlik element rolini uynaydi va L(E,F) tuplam birlik elementli xalka tashkil etadi. Bu xalka tashkil etadi. Bu xalka umumiy xolda kommutativ emas. Masalan, E=R_n bulib n>1 shart bajarilsa L(R_n,R_n) fazo barcha ikkinch tartibli xakikiy elementli matristalar xalkasiga izomorf bo’lgan xalka bulib, bu xalka kommutativ emas. Agar A € L(E,E) operator uchun AV=J va SA=J (bu erda J- ayniy almashtirish) tengliklarni qanoatlantiruvchi V va S operatorlar mavjud bo’lsa, u xolda V va S operatorlar bir xil bo’ladi, chunki V= (SA)V= S(AV)=SJ=C iunosabatlar urnili bo’ladi. Shu bilan birga bunday V operatorni A ga teskari operator deyiladi va uni A^-1 ko’rinishda belgilanadi.
Aytaylik, E va F normalangan fazolar bo’lsin. U xolda, A: E→F operator uchun ║Ax║K║x║, E tengsizlik qanoatlantiruvchi K son mavjud bo’lgan xolda A operatorni chegaralangan deyiladi. AL(E,F) operator uchun ║A║=inf{K|║Ax║K║x║, E} son uning normasi deyiladi. Operatorning normasi uchun ║A║=sup║Ax║=sup║Ax║
^{║x║1 ║x║=1}
munosabatlar o’rinli ekanin isbotlash mumkin.
xakikatan xam, ║A║ tengsizlikni qanoatlantiruvchi xE elementlar uchun ║Ax║K o’rinli bo’ladi. Demak, sup║Ax║K o’rinli, ya’ni
^║x║1
sup║Ax║║Ax║ bajariladi. U xolda, ║A║=sup║Ax║=sup║Ax║║Ax║ (1)
^{║x║1 ║x║1 ║x║1}
Agar ║A║=0 , bo’lsa ║A║sup║Ax║ tengsizlik xam bajariladi. ^║x║=1
Agar ║A║0 bo’lsa, 00║>b║x₀║ (x₀0) shartni qanoatlantiruvchi x₀ element mavjud bo’ladi. element uchun ║u₀║=1 va ║Au₀║= . Bundan olingan b son dan kichik ixtiyoriy son bo’lgani uchun oxirgi tengsizlikdan ushbu (2) tengsizlik hosil bo’ladi. (1) va (2) tengsizliklardan tenglik kelib chiqadi.

1. 
   
   
2. 
   
   
3. 
   
   

Masalan, 3 xossa quyidagicha isbotlanadi.

Bu xossalar L(E,F) fazoning normallangan fazo ekanini bildiradi.
Xususan, F=R ,bo’lgan hol uchun L(E,F)-uzluksiz chiziqli funkstionallar fazosi nomalangan bo’lib, uni E ga qo’shma fazo deyiladi.
Misollar. E=R_n F=R_m ,bo’lsin. Chiziqli A:R_nR_m operatorni aniqlash uchun R_n fazodagi biror e₁, e₂, ... , e_n orqali Ae_i vektorlarni bu bazisdagi koordinatalarini aniqlaymiz, ya’ni
Agar ixtiyoriy vektor bo’lsa, u holda
bu erda
Demak A operator (a_ij) matrista yordamida aniqlanib, u x=(x₁,x₂,…,x_n) vektorga quyidagicha ta’sir etadi.

R_n va R_m fazolarida oddiy Evklid normasini olamiz, masalan, xR_n uchun
U xolda ya’ni munosabat o’rinli. Demak, A chiziqli chegaralangan operatordir.
A chiziq almashtirish ixtiyoriy ekanrliginidan har qanday A:R_n®R_m chiziqli operator uzluksiz bo’lishi kelib chiqadi.
2. E seperabel Gilbert fazosi bo’lib, e₁,e₂,…,e_n uning ortogonal bizisi bo’lsin u holda ixtiyoriy xÎE elementni ko’rinishida yozish mumkin. Biror C>0 soni uchun tengsizlik uni qanoatlantiruvchi ketma – ketligini olib operatorni quyidagicha aniqlaymiz:

A operatorning mavjudligi tengsilikdan va Riss – fisher teoremasidan kelib chiqadi. A operatorning chiziqli ekanligi uning qurilishidan kelib chiqadi. Xuddi shuningdek, A operatorning qurilishidan tenglik ham kelib chiqadi. Agar belgilashni kiritsak, munosabatlar hosil bo’ladi. Bundan {e_i} bazisning ortonormalligidan, kelib chiqadi, ya’ni . Demak,