Operatorlar fazosi

Teorema. Agar F – Banax fazosi bo’lsa, u holda normallangan E fazoni F ga akslantiradigan barcha chiziqli va chegaralangan operatorlar to’plami L(E,F) ham Banax fazosi bo’ladi.
Isbot. L(E,F) fazodagi normaga nisbatan fundamental bo’lgan {A_n} operatorlar berilgan bo’lsin, ya’ni n,m®¥ da U holda ixtiyoriy xÎE element uchun n,m®¥ da .
Demak, har bir xÎE uchun {A_nx} ketma – ketlik fundamentaldir. F fazoning to’la ekanligidan bu {A_nx} ketma – ketlik biror eÎF elementga intiladi. Shunday qilib, har bir x elementga F bitta elementi mos qo’yilmoqda, bu moslikni A bilan belgilaymiz, ya’ni bo’lsa, y=Ax deb olamiz.
U holda bu A:E®F operator additiv bo’ladi, chunki munosabatlar o’rinli. Endi A operatorni chegaralanganligini kuzatamiz. Shartga asosan, {A_n} ketma – ketlik normaga nisbatan fundamentaldir. Bundan va tengsizlikdan sonli ketma – ketlikni fundamentalligi kelib chiыadi. Demak, bu ketma – ketlik chegaralangan hamdir, ya’ni shunday K son mavjudki, barcha n lar uchun o’rinli bo’ladi. Shuning uchun va bajariladi. Oxirgi munosabat chegaralanganligi ifodalaydi. Demak, A chiziqli chegaralangan operatordir. Bu operator {A_n} operatorning norma ma’nosidagi yaqinlashishga nisbatan limiti ekanligini ko’rsatamiz. Ixtiyoriy uchun shunday n₀ nomer topiladiki, bo’lganda tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha x elementlar uchun tengsizlik bajariladi. Agar oxirgi tengsizlikda da limitga o’tsak tengsizlik barcha va shartni qanoatlantiruvchi x lar uchun bajariladi. Shuning uchun tengsizlik bo’lganda o’rinli bo’ladi. Demak, .