Mavzu: Vektor tushunchasi. Vektorlar ustida chiziqli amalllar

Mavzu: Vektorlarning vektor va aralash ko'paytmalari.
Xossalari va tatbiqlari
Reja:

1. 
   Vektor tushunchasi. Vektorlarning tengligi
   
2. 
   Vektorlar proyektsiyalari va koordinatalari
   
3. 
   Vektorlar ustida chiziqli amallar
   
4. 
   Vektorlarning skalyar ko’paytmasi
   

Fizik, kimyoviy va boshqa hodisalarni o’rganishda uchraydigan kattaliklarni ikki sinfga bo’lish mumkin. Skalalyar kattaliklar deb ataladigan kattaliklar sinfi mavjud bo’lib, ularni xarakterlash uchun bu kattaliklarni son qiymatlarini ko’rsatish yetarlidir. Bular, masalan, hajm, massa, zichlik, harorat va boshqalardir. Lekin shunday kattaliklar mavjudki, ular faqat son qiymatlari bilangina emas, balki yo’nalishi bilan ham xarakrerlanadi.
Ular yo’nalgan kattaliklar yoki vektor kattaliklar deb ataladi. Harakat tezligi, magnit yoki elektr maydonning kuchlanganligi va boshqa kattaliklar shunga misol bo’ladi.
1-Ta’rif. Yo’naltirilgan kesma vektor deyiladi va 𝐴𝐵 yoki
𝑎→, 𝑏 kabi belgilanadi.
Yo’naltirilgan 𝐴𝐵 kesmaning 𝐴 nuqtasi uning boshi, 𝐵 esa oxiri deyiladi. 𝐴𝐵 kesmaning uzunligi vektorning uzunligi deyilib 𝐴𝐵 kabi belgilanadi. Boshi va oxiri ustma ust tushgan vektor nol vektor deyiladi va 0 kabi belgilanadi.

2. 
   Ta’rif. Bitta to’g’ri chiziqda yoki parallel to’g’ri chiziqlarda yotuvchi 𝑎→ 𝑣𝑎 𝑏 vektorlar kollinear vektorlar deyiladi.
   

Shuni ta’kidlash lozimki kollinear vektorlar bir xil yo’nalishga ega bo’lishi shart emas.

3. 
   Ta’rif. Bir xil yo’nalishga ega bo’lib, uzunliklari teng bo’lgan ikkita kollinear 𝑎→ va 𝑏 vektorlar teng vektorlar deyiladi va 𝑎→=𝑏 kabi belgilanadi.
   
4. 
   Ta’rif. Bitta tekislikda yoki parallel tekisliklarda yotuvchi vektorlar komplanar vektorlar deyiladi.
   

3. 
   Ta’rif. Ikki 𝑎→ va 𝑏 vektorlar yo’nalishlari orasidagi burchakka 𝑎→ va 𝑏 vektorlar orasidagi burchak deyiladi.
   

Vektorlarning proektsiyalari va koordinatalari.

Aytaylik 𝑂𝑋𝑌 koordinatalar tekisligida boshi 𝐴(𝑥₁, 𝑦₁) va oxiri B(𝑥₂, 𝑦₂) nuqtalarda bo’lgan 𝐴𝐵 vektor berilgan bo’lsin.

Chizmadagi 𝐴₁𝐵₁ kesmaga 𝐴𝐵 vektorning 𝑂𝑥 o’qdagi proyektsiyasi deyiladi. Xuddi shuningdek 𝐴₂𝐵₂ kesmaga
𝐴𝐵 ni 𝑂𝑦 o’qdagi proyektsiyasi deyiladi.
∆𝐴𝐵𝐶 dan
𝐴₁𝐵₁ = 𝐴𝐶 = 𝑃𝑟_𝑂𝑋𝐴𝐵= 𝐴𝐵 𝑐𝑜𝑠𝛼=𝑎_𝑥,
𝐴₂𝐵₂ = 𝐵𝐶 = 𝑃𝑟_𝑂𝑌𝐴𝐵= 𝐴𝐵 𝑠𝑖𝑛𝛼=𝑎_𝑦,
Bu yerda 𝑎_𝑥 = 𝑥₂ − 𝑥₁, 𝑎_𝑦 = 𝑦₂ − 𝑦₁
Bir juft (𝑎_𝑥, 𝑎_𝑦) songa 𝐴𝐵 vektorning koordinatalari deyiladi.
Demak, 𝑂𝑥𝑦 tekislikda berilgan har qanday nolmas vector o’zining 𝑎_𝑥 𝑣𝑎 𝑎_𝑦 koordinatalari orqali to’la aniqlanadi va uni 𝐴𝐵(𝑎_𝑥, 𝑎_𝑦) yoki 𝑎→(𝑎_𝑥, 𝑎_𝑦) ko’rinishda yoziladi.
𝐴𝐵(𝑎_𝑥, 𝑎_𝑦) koordinatalari bilan berilgan vektor uzunligi ushbu

𝑑 =
𝐴𝐵 = =
(1)

formuladan aniqlanadi.

𝑐𝑜𝑠𝛼 = ^𝑎𝑥
₌ 𝑥₂−𝑥₁
𝑑
va cos(90^° − 𝛼) = ^𝑎𝑦
₌ 𝑦₂−𝑦₁
𝑑
lar

𝐴𝐵 vektorning yo’naltiruvchi kosinuslari deyiladi. Bu yerda 𝑐𝑜𝑠²𝛼 + 𝑠𝑖𝑛²𝛼 = 1 ga teng.