Ordinal va kardinallar. Kantor teoremasi. Transfinit induksiya. Maksimum prinsipi

Ta'riflar

Yaxshi buyurtma qilingan to'plamlar

A yaxshi buyurtma qilingan har bir bo'sh bo'lmagan ichki qism eng kichik elementni o'z ichiga oladi. hisobga olib qaram tanlov aksiomasi, bu to'plamni aytishga tengdir butunlay buyurtma qilingan va cheksiz kamayish ketma-ketligi yo'q (ikkinchisini tasavvur qilish osonroq). Amalda yaxshi buyurtma berishning ahamiyati murojaat qilish imkoniyati bilan oqlanadi transfinite induksiyasi, bu, asosan, elementning o'tmishdoshlaridan ushbu elementning o'ziga o'tadigan har qanday xususiyat barcha elementlarga to'g'ri kelishi kerakligini aytadi (berilgan yaxshi tartiblangan to'plamning). Agar hisoblash holatlari (kompyuter dasturi yoki o'yinlari) yaxshi buyurtma berilishi mumkin bo'lsa - shunday qilib har bir qadam "pastki" bosqichga o'tadigan bo'lsa, u holda hisoblash tugaydi.
Yaxshi tartiblangan ikkita to'plamni, agar ular faqat "o'z elementlarining yorlig'i" bilan farq qilsalar, yoki ko'proq rasmiy ravishda ajratish noo'rin: agar birinchi to'plam elementlari ikkinchi to'plam elementlari bilan birlashtirilishi mumkin bo'lsa, shunday bo'lsa element birinchi to'plamda boshqasidan kichikroq, keyin birinchi element sherigi ikkinchi to'plamdagi ikkinchi element sherikdan kichikroq va aksincha. Bunday yakkama-yakka yozishma an deyiladi tartib izomorfizmi, va ikkita yaxshi tartiblangan to'plamlar tartib-izomorfik yoki deyiladi o'xshash (buni anglash bilan ekvivalentlik munosabati).
Rasmiy ravishda, agar a qisman buyurtma ≤ to'plamda aniqlanadi S, va to'plamda qisman tartib '' aniqlanadi S ' , keyin posets (S, ≤) va (S ' , ≤ ') mavjud tartib izomorfik agar mavjud bo'lsa bijection f buyurtmani saqlaydigan. Anavi, f(a) ≤' f(b) agar va faqat agar a ≤ b. Ikki yaxshi tartiblangan to'plamlar o'rtasida tartib izomorfizm mavjud bo'lsa, izomorfizm noyobdir: bu ikkala to'plamni mohiyatan bir xil deb hisoblashni va izomorfizm turining (sinfining) "kanonik" vakilini izlashni juda oqilona qiladi. Aynan shu narsa ordinallar tomonidan ta'minlanadi va shuningdek, har qanday yaxshi tartiblangan to'plam elementlarining kanonik yorlig'ini beradi. Har bir yaxshi buyurtma qilingan o'rnatish (S, <) ularning tabiiy tartibida bitta aniq tartib sonidan kam tartiblar to'plamiga tartib-izomorfikdir. Ushbu kanonik to'plam bu buyurtma turi ning (S,<).
Aslida, tartib tartibini $ an $ deb belgilash uchun mo'ljallangan izomorfizm sinfi yaxshi buyurtma qilingan to'plamlarning to'plami: ya'ni ekvivalentlik sinfi uchun ekvivalentlik munosabati "izomorfik tartibda bo'lish". Biroq, ekvivalentlik klassi odatdagidek to'plam uchun juda katta bo'lganligi sababli texnik qiyinchiliklar mavjud Zermelo – Fraenkel (ZF) to'plam nazariyasini rasmiylashtirish. Ammo bu jiddiy qiyinchilik emas. Tartibni deyish mumkin buyurtma turi sinfdagi har qanday to'plamdan.